初中数学二次函数综合题计算题

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的顶点坐标为 $(2,9)$，与 $y$轴交于点 $A(0,5)$，与 $x$轴交于点 $E$、 $B$．

（1）求二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的表达式；

（2）过点 $A$作 $\mathit{AC}$平行于 $x$轴，交抛物线于点 $C$，点 $P$为抛物线上的一点（点 $P$在 $\mathit{AC}$上方），作 $\mathit{PD}$平行于 $y$轴交 $\mathit{AB}$于点 $D$，问当点 $P$在何位置时，四边形 $\mathit{APCD}$的面积最大？并求出最大面积；

（3）若点 $M$在抛物线上，点 $N$在其对称轴上，使得以 $A$、 $E$、 $N$、 $M$为顶点的四边形是平行四边形，且 $\mathit{AE}$为其一边，求点 $M$、 $N$的坐标．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $y=x^2-2x-3$交 $x$轴于 $A$， $B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧），将该抛物线位于 $x$轴上方曲线记作 $M$，将该抛物线位于 $x$轴下方部分沿 $x$轴翻折，翻折后所得曲线记作 $N$，曲线 $N$交 $y$轴于点 $C$，连接 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$．

（1）求曲线 $N$所在抛物线相应的函数表达式；

（2）求 $\mathit{\Delta ABC}$外接圆的半径；

（3）点 $P$为曲线 $M$或曲线 $N$上的一动点，点 $Q$为 $x$轴上的一个动点，若以点 $B$， $C$， $P$， $Q$为顶点的四边形是平行四边形，求点 $Q$的坐标．

已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-4(a>0)$的图象与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点， $(A$在 $B$左侧，且 $\mathit{OA}<\mathit{OB})$，与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求 $C$点坐标，并判断 $b$的正负性；

（2）设这个二次函数的图象的对称轴与直线 $\mathit{AC}$相交于点 $D$，已知 $\mathit{DC}:\mathit{CA}=1:2$，直线 $\mathit{BD}$与 $y$轴交于点 $E$，连接 $\mathit{BC}$．

①若 $\mathit{\Delta BCE}$的面积为8，求二次函数的解析式；

②若 $\mathit{\Delta BCD}$为锐角三角形，请直接写出 $\mathit{OA}$的取值范围．

已知，点 $M$是二次函数 $y=a{x}^2(a>0)$图象上的一点，点 $F$的坐标为 $(0,\frac{1}{4a})$，直角坐标系中的坐标原点 $O$与点 $M$， $F$在同一个圆上，圆心 $Q$的纵坐标为 $\frac{1}{8}$．

（1）求 $a$的值；

（2）当 $O$， $Q$， $M$三点在同一条直线上时，求点 $M$和点 $Q$的坐标；

（3）当点 $M$在第一象限时，过点 $M$作 $\mathit{MN}\perp x$轴，垂足为点 $N$，求证： $\mathit{MF}=\mathit{MN}+\mathit{OF}$．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$，已知二次函数 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}$的图象过点 $A(4,0)$，顶点为 $B$，连接 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BO}$．

（1）求二次函数的表达式；

（2）若 $C$是 $\mathit{BO}$的中点，点 $Q$在线段 $\mathit{AB}$上，设点 $B$关于直线 $\mathit{CQ}$的对称点为 $B^{\text{'}}$，当 $\mathit{\Delta OC}{B}^{\text{'}}$为等边三角形时，求 $\mathit{BQ}$的长度；

（3）若点 $D$在线段 $\mathit{BO}$上， $\mathit{OD}=2\mathit{DB}$，点 $E$、 $F$在 $\mathit{\Delta OAB}$的边上，且满足 $\mathit{\Delta DOF}$与 $\mathit{\Delta DEF}$全等，求点 $E$的坐标．

如图，二次函数 $y=-x^2+4x+5$图象的顶点为 $D$，对称轴是直线 $l$，一次函数 $y=\frac{2}{5}x+1$的图象与 $x$轴交于点 $A$，且与直线 $\mathit{DA}$关于 $l$的对称直线交于点 $B$．

（1）点 $D$的坐标是　         　；

（2）直线 $l$与直线 $\mathit{AB}$交于点 $C$， $N$是线段 $\mathit{DC}$上一点（不与点 $D$、 $C$重合），点 $N$的纵坐标为 $n$．过点 $N$作直线与线段 $\mathit{DA}$、 $\mathit{DB}$分别交于点 $P$、 $Q$，使得 $\mathit{\Delta DPQ}$与 $\mathit{\Delta DAB}$相似．

①当 $n=\frac{27}{5}$时，求 $\mathit{DP}$的长；

②若对于每一个确定的 $n$的值，有且只有一个 $\mathit{\Delta DPQ}$与 $\mathit{\Delta DAB}$相似，请直接写出 $n$的取值范围　          　．

如图，在平面直角坐标系中，矩形 $\mathit{OABC}$的边 $\mathit{OA}$、 $\mathit{OC}$分别在 $x$轴、 $y$轴上，点 $B$坐标为 $(4$， $t\left)\right(t>0)$，二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}(b<0)$的图象经过点 $B$，顶点为点 $D$．

（1）当 $t=12$时，顶点 $D$到 $x$轴的距离等于　     　；

（2）点 $E$是二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}(b<0)$的图象与 $x$轴的一个公共点（点 $E$与点 $O$不重合），求 $\mathit{OE}·\mathit{EA}$的最大值及取得最大值时的二次函数表达式；

（3）矩形 $\mathit{OABC}$的对角线 $\mathit{OB}$、 $\mathit{AC}$交于点 $F$，直线 $l$平行于 $x$轴，交二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}(b<0)$的图象于点 $M$、 $N$，连接 $\mathit{DM}$、 $\mathit{DN}$，当 $\mathit{\Delta DMN}\cong \mathit{\Delta FOC}$时，求 $t$的值．

已知关于 $x$的一元二次方程 $x^2-(m+1)x+\frac{1}{2}(m^2+1)=0$有实数根．

（1）求 $m$的值；

（2）先作 $y=x^2-(m+1)x+\frac{1}{2}(m^2+1)$的图象关于 $x$轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式；

（3）在（2）的条件下，当直线 $y=2x+n(n⩾m)$与变化后的图象有公共点时，求 $n^2-4n$的最大值和最小值．

如图，已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3(a\ne 0)$的图象经过点 $A(3,0)$， $B(4,1)$，且与 $y$轴交于点 $C$，连接 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$．

（1）求此二次函数的关系式；

（2）判断 $\mathit{\Delta ABC}$的形状；若 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆记为 $\odot M$，请直接写出圆心 $M$的坐标；

（3）若将抛物线沿射线 $\mathit{BA}$方向平移，平移后点 $A$、 $B$、 $C$的对应点分别记为点 $A_1$、 $B_1$、 $C_1$，△ $A_1{B}_1{C}_1$的外接圆记为 $\odot M_1$，是否存在某个位置，使 $\odot M_1$经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由．

已知二次函数 $y=a{x}^2-4\mathit{ax}+c(a<0)$的图象与它的对称轴相交于点 $A$，与 $y$轴相交于点 $C(0,-2)$，其对称轴与 $x$轴相交于点 $B$

（1）若直线 $\mathit{BC}$与二次函数的图象的另一个交点 $D$在第一象限内，且 $\mathit{BD}=\sqrt{2}$，求这个二次函数的表达式；

（2）已知 $P$在 $y$轴上，且 $\mathit{\Delta POA}$为等腰三角形，若符合条件的点 $P$恰好有2个，试直接写出 $a$的值．

已知直线 $l:y=\mathit{kx}+1$与抛物线 $y=x^2-4x$．

（1）求证：直线 $l$与该抛物线总有两个交点；

（2）设直线 $l$与该抛物线两交点为 $A$， $B$， $O$为原点，当 $k=-2$时，求 $\mathit{\Delta OAB}$的面积．

已知二次函数 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}+c(a>0)$的图象与 $x$轴的负半轴和正半轴分别交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，它的顶点为 $P$，直线 $\mathit{CP}$与过点 $B$且垂直于 $x$轴的直线交于点 $D$，且 $\mathit{CP}:\mathit{PD}=2:3$

（1）求 $A$、 $B$两点的坐标；

（2）若 $\tan \angle \mathit{PDB}=\frac{5}{4}$，求这个二次函数的关系式．

已知关于 $x$的一元二次方程 $x^2-(m+1)x+\frac{1}{2}(m^2+1)=0$有实数根．

（1）求 $m$的值；

（2）先作 $y=x^2-(m+1)x+\frac{1}{2}(m^2+1)$的图象关于 $x$轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式；

（3）在（2）的条件下，当直线 $y=2x+n(n⩾m)$与变化后的图象有公共点时，求 $n^2-4n$的最大值和最小值．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $L_1:y=x^2+\mathit{bx}+c$过点 $C(0,-3)$，与抛物线 $L_2:y=-\frac{1}{2}{x}^2-\frac{3}{2}x+2$的一个交点为 $A$，且点 $A$的横坐标为2，点 $P$、 $Q$分别是抛物线 $L_1$、 $L_2$上的动点．

（1）求抛物线 $L_1$对应的函数表达式；

（2）若以点 $A$、 $C$、 $P$、 $Q$为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点 $P$的坐标；

（3）设点 $R$为抛物线 $L_1$上另一个动点，且 $\mathit{CA}$平分 $\angle \mathit{PCR}$．若 $\mathit{OQ}//\mathit{PR}$，求出点 $Q$的坐标．

平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，已知抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$经过 $(-1,m^2+2m+1)$、 $(0,m^2+2m+2)$两点，其中 $m$为常数．

（1）求 $b$的值，并用含 $m$的代数式表示 $c$；

（2）若抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴有公共点，求 $m$的值；

（3）设 $(a,y_1)$、 $(a+2,y_2)$是抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$上的两点，请比较 $y_2-y_1$与0的大小，并说明理由．