初中数学反比例函数的图象解答题

在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{BC}$ 边的长为 $x$ ， $\mathit{BC}$ 边上的高为 $y$ ， $\mathit{\Delta ABC}$ 的面积为2．

（1） $y$ 关于 $x$ 的函数关系式是 　    　， $x$ 的取值范围是 　　；

（2）在平面直角坐标系中画出该函数图象；

（3）将直线 $y=-x+3$ 向上平移 $a(a>0)$ 个单位长度后与上述函数图象有且只有一个交点，请求出此时 $a$ 的值．

经过实验获得两个变量 $x(x>0)$， $y(y>0)$的一组对应值如下表．

$x$	1	2	3	4	5	6
$y$	6	2.9	2	1.5	1.2	1

（1）请画出相应函数的图象，并求出函数表达式．

（2）点 $A(x_1$， $y_1)$， $B(x_2$， $y_2)$在此函数图象上．若 $x_1<x_2$，则 $y_1$， $y_2$有怎样的大小关系？请说明理由．

请用学过的方法研究一类新函数 $y=\frac{k}{x^2}(k$为常数， $k\ne 0)$的图象和性质．

（1）在给出的平面直角坐标系中画出函数 $y=\frac{6}{x^2}$的图象；

（2）对于函数 $y=\frac{k}{x^2}$，当自变量 $x$的值增大时，函数值 $y$怎样变化？

如图，直线 $\mathit{AB}$与 $x$轴交于点 $A(1,0)$，与 $y$轴交于点 $B(0,2)$，将线段 $\mathit{AB}$绕点 $A$顺时针旋转 $90°$得到线段 $\mathit{AC}$，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0,x>0)$的图象经过点 $C$．

（1）求直线 $\mathit{AB}$和反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0,x>0)$的解析式；

（2）已知点 $P$是反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0,x>0)$图象上的一个动点，求点 $P$到直线 $\mathit{AB}$距离最短时的坐标．

已知反比例函数 y＝ $\frac{k}{x}$ 的图象在二四象限，一次函数为 y＝ kx+ b（ b＞0），直线 x＝1与 x轴交于点 B，与直线 y＝ kx+ b交于点 A，直线 x＝3与 x轴交于点 C，与直线 y＝ kx+ b交于点 D．

（1）若点 A， D都在第一象限，求证： b＞﹣3 k；

（2）在（1）的条件下，设直线 y＝ kx+ b与 x轴交于点 E与 y轴交于点 F，当 $\frac{\mathit{ED}}{\mathit{EA}}$ ＝ $\frac{3}{4}$ 且△ OFE的面积等于 $\frac{27}{2}$ 时，求这个一次函数的解析式，并直接写出不等式 $\frac{k}{x}$ ＞ kx+ b的解集．

九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数 $y=\frac{2}{\left|x\right|}$ 的图象与性质共探究过程如下：

（1）绘制函数图象，如图1．

列表：下表是 $x$ 与 $y$ 的几组对应值，其中 $m=$ 　　；

$x$	$\dots$	$-3$	$-2$	$-1$	$-\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	1	2	3	$\dots$
$y$	$\dots$	$\frac{2}{3}$	1	2	4	4	2	$m$	$\frac{2}{3}$	$\dots$

描点：根据表中各组对应值 $(x,y)$ ，在平面直角坐标系中描出了各点；

连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；

（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质；

① 　　；

② 　　；

（3）①观察发现：如图2．若直线 $y=2$ 交函数 $y=\frac{2}{\left|x\right|}$ 的图象于 $A$ ， $B$ 两点，连接 $\mathit{OA}$ ，过点 $B$ 作 $\mathit{BC}//\mathit{OA}$ 交 $x$ 轴于 $C$ ．则 $S_{\mathit{四边形}\mathit{OABC}}=$ 　　；

②探究思考：将①中"直线 $y=2$ "改为"直线 $y=a(a>0)$ "，其他条件不变，则 $S_{\mathit{四边形}\mathit{OABC}}=$ 　　；

③类比猜想：若直线 $y=a(a>0)$ 交函数 $y=\frac{k}{\left|x\right|}(k>0)$ 的图象于 $A$ ， $B$ 两点，连接 $\mathit{OA}$ ，过点 $B$ 作 $\mathit{BC}//\mathit{OA}$ 交 $x$ 轴于 $C$ ，则 $S_{\mathit{四边形}\mathit{OABC}}=$ 　　．

若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质．列表：

								0		1		2		3
				1		2		1		0		1		2

描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示．

（1）如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象；

（2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：

①点，，，，，，在函数图象上，则　　，　　；（填“”，“ ”或“”

②当函数值时，求自变量的值；

③在直线的右侧的函数图象上有两个不同的点，，，，且，求的值；

④若直线与函数图象有三个不同的交点，求的取值范围．

（1）阅读理解

如图，点，在反比例函数的图象上，连接，取线段的中点．分别过点，，作轴的垂线，垂足为，，，交反比例函数的图象于点．点，，的横坐标分别为，，．

小红通过观察反比例函数的图象，并运用几何知识得出结论：

，

由此得出一个关于，，，之间数量关系的命题：

若，则　　．

（2）证明命题

小东认为：可以通过“若，则”的思路证明上述命题．

小晴认为：可以通过“若，，且，则”的思路证明上述命题．

请你选择一种方法证明（1）中的命题．

如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的点和点．过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4．

（1）分别求出和的值；

（2）结合图象直接写出的解集；

（3）在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，正六边形的对称中心在反比例函数的图象上，边在轴上，点在轴上，已知．

（1）点是否在该反比例函数的图象上？请说明理由；

（2）若该反比例函数图象与交于点，求点的横坐标；

（3）平移正六边形，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上，试描述平移过程．