初中数学一次函数图象上点的坐标特征解答题

如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y=\mathit{kx}+b$的图象经过点 $A(-2,6)$，且与 $x$轴相交于点 $B$，与正比例函数 $y=3x$的图象相交于点 $C$，点 $C$的横坐标为1．

（1）求 $k$、 $b$的值；

（2）若点 $D$在 $y$轴负半轴上，且满足 $S_{\mathit{\Delta COD}}=\frac{1}{3}{S}_{\mathit{\Delta BOC}}$，求点 $D$的坐标．

设一次函数 $y=\mathit{kx}+b(k$， $b$是常数， $k\ne 0)$的图象过 $A(1,3)$， $B(-1,-1)$两点．

（1）求该一次函数的表达式；

（2）若点 $(2a+2,a^2)$在该一次函数图象上，求 $a$的值．

（3）已知点 $C(x_1$， $y_1)$和点 $D(x_2$， $y_2)$在该一次函数图象上，设 $m=(x_1-x_2)(y_1-y_2)$，判断反比例函数 $y=\frac{m+1}{x}$的图象所在的象限，说明理由．

如图，直线 $l_1:y=2x+1$与直线 $l_2:y=\mathit{mx}+4$相交于点 $P(1,b)$．

（1）求 $b$， $m$的值；

（2）垂直于 $x$轴的直线 $x=a$与直线 $l_1$， $l_2$分别交于点 $C$， $D$，若线段 $\mathit{CD}$长为2，求 $a$的值．

在平面直角坐标系中，一次函数 $y=\mathit{kx}+b(k$， $b$都是常数，且 $k\ne 0)$的图象经过点 $(1,0)$和 $(0,2)$．

（1）当 $-2<x⩽3$时，求 $y$的取值范围；

（2）已知点 $P(m,n)$在该函数的图象上，且 $m-n=4$，求点 $P$的坐标．

阅读理解题

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，点 $P(x_0$， $y_0)$到直线 $\mathit{Ax}+\mathit{By}+C=0(A^2+B^2\ne 0)$的距离公式为： $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$，

例如，求点 $P(1,3)$到直线 $4x+3y-3=0$的距离．

解：由直线 $4x+3y-3=0$知： $A=4$， $B=3$， $C=-3$

所以 $P(1,3)$到直线 $4x+3y-3=0$的距离为： $d=\frac{|4\times 1+3\times 3-3|}{\sqrt{4^2+3^2}}=2$

根据以上材料，解决下列问题：

（1）求点 $P_1(0,0)$到直线 $3x-4y-5=0$的距离．

（2）若点 $P_2(1,0)$到直线 $x+y+C=0$的距离为 $\sqrt{2}$，求实数 $C$的值．

直线 $l$的解析式为 $y=-2x+2$，分别交 $x$轴、 $y$轴于点 $A$， $B$．

（1）写出 $A$， $B$两点的坐标，并画出直线 $l$的图象；

（2）将直线 $l$向上平移4个单位得到 $l_1$， $l_1$交 $x$轴于点 $C$．作出 $l_1$的图象， $l_1$的解析式是　　．

（3）将直线 $l$绕点 $A$顺时针旋转 $90°$得到 $l_2$， $l_2$交 $l_1$于点 $D$．作出 $l_2$的图象， $\tan \angle \mathit{CAD}=$　　．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，以点 $O$为圆心的圆分别交 $x$轴的正半轴于点 $M$，交 $y$轴的正半轴于点 $N$．劣弧 $\stackrel{̂}{\mathit{MN}}$的长为 $\frac{6}{5}\pi$，直线 $y=-\frac{4}{3}x+4$与 $x$轴、 $y$轴分别交于点 $A$、 $B$．

（1）求证：直线 $\mathit{AB}$与 $\odot O$相切；

（2）求图中所示的阴影部分的面积（结果用 $\pi$表示）

已知一次函数 $y＝2x+4$．

（1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数的图象；

（2）求图象与x轴的交点A的坐标，与y轴交点B的坐标；

（3）在（2）的条件下，求出△AOB的面积；

（4）利用图象直接写出：当 $y＜0$时，x的取值范围．

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B在x轴的正半轴上． $\angle \mathit{OAB}＝90°$且 $\mathit{OA}＝\mathit{AB}$，OB，OC的长分别是一元二次方程 $x^2﹣11x+30＝0$的两个根 $（\mathit{OB}＞\mathit{OC}）$．

（1）求点A和点B的坐标．

（2）点P是线段OB上的一个动点（点P不与点O，B重合），过点P的直线l与y轴平行，直线l交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R．设点P的横坐标为t，线段QR的长度为m．已知 $t＝4$时，直线l恰好过点C．当 $0＜t＜3$时，求m关于t的函数关系式．

（3）当 $m＝3.5$时，请直接写出点P的坐标．

已知 P＝ $\frac{2a}{a^2-b^2}$ ﹣ $\frac{1}{a+b}$ （ a≠± b）

（1）化简 P；

（2）若点（ a， b）在一次函数 y＝ x﹣ $\sqrt{2}$ 的图象上，求 P的值．

阅读下面材料：

我们知道一次函数 y＝ kx+ b（ k≠0， k、 b是常数）的图象是一条直线，到高中学习时，直线通常写成 Ax+ By+ C＝0（ A≠0， A、 B、 C是常数）的形式，点 P（ x ₀， y ₀）到直线 Ax+ By+ C＝0的距离可用公式 d＝ $\frac{\left|A{x}_0+B{y}_0+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ 计算．

例如：求点 P（3，4）到直线 y＝﹣2 x+5的距离．

解：∵ y＝﹣2 x+5

∴2 x+ y﹣5＝0，其中 A＝2， B＝1， C＝﹣5

∴点 P（3，4）到直线 y＝﹣2 x+5的距离为：

$d=\frac{\left|A{x}_0+B{y}_0+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{|2\times 3+1\times 4-5|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$

根据以上材料解答下列问题：

（1）求点 Q（﹣2，2）到直线3 x﹣ y+7＝0的距离；

（2）如图，直线 y＝﹣ x沿 y轴向上平移2个单位得到另一条直线，求这两条平行直线之间的距离．

如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，，，点是四边形内的一点，且与的面积相等，求的值．

如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与轴交于点， $\tan \angle \mathit{OAB}=\frac{1}{2}$，直线上的点位于轴左侧，且到轴的距离为1．

（1）求直线的表达式；

（2）若反比例函数 $y=\frac{m}{x}$的图象经过点，求的值．

如图，在平面直角坐标系中，四边形的边在轴上，在轴上．为坐标原点，，线段，的长分别是方程的两个根，．

（1）求点，的坐标；

（2）为上一点，为上一点，，将翻折，使点落在上的点处，双曲线的一个分支过点．求的值；

（3）在（2）的条件下，为坐标轴上一点，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点四边形为矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，反比例函数与一次函数的图象在第二象限的交点为，在第四象限的交点为，直线为坐标原点）与函数的图象交于另一点．过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两直线相交于点，的面积为6．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）求点，的坐标和的面积．