初中数学规律型：数字的变化类解答题

定义一种新运算：观察下列各式：1⊙3=1×4+3=7 ；3⊙（－1）= 3×4－1=11；5⊙4="5×4+4=24" ；4⊙（－3）= 4×4－3=13
（1）请你想一想：用代数式表示a⊙b的结果为：___________；
（2）若a≠b,那么a⊙b______b⊙a（填入“=”或“≠ ”）；
（3）若a⊙（－2b）= 4，请计算（a－b）⊙（2a+b）的值．

[阅读理解]

我们知道，，那么结果等于多少呢？

在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即，第2行两个圆圈中数的和为，即，；第行个圆圈中数的和为，即，这样，该三角形数阵中共有个圆圈，所有圆圈中数的和为．

[规律探究]

将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第行的第一个圆圈中的数分别为，2，，发现每个位置上三个圆圈中数的和均为　　，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：　　，因此，　　．

[解决问题]

根据以上发现，计算：的结果为　　．

仔细观察下列三组数：
第一组：1，4，9，16，25，…
第二组：1，8，27，64，125，…
第三组：﹣2，﹣8，﹣18，﹣32，﹣50，…
（1）写出每组的第6个数各是多少？
（2）第二组的第100个数是第一组的第100个数的多少倍？
（3）取每组数的第n个数，计算这三个数的和．

观察下列等式：

$2+2^2=2^3-2$ ；

$2+2^2+2^3=2^4-2$ ；

$2+2^2+2^3+2^4=2^5-2$ ；

$2+2^2+2^3+2^4+2^5=2^6-2$ ；

$\dots$

已知按一定规律排列的一组数： $2^{20}$ ， $2^{21}$ ， $2^{22}$ ， $2^{23}$ ， $2^{24}$ ， $\dots$ ， $2^{38}$ ， $2^{39}$ ， $2^{40}$ ，若 $2^{20}=m$ ，则 $2^{20}+2^{21}+2^{22}+2^{23}+2^{24}+\dots +2^{38}+2^{39}+2^{40}=$ 　 　（结果用含 $m$ 的代数式表示）．

阅读下文，寻找规律．计算
,
,
……．
（1）观察上式，并猜想：                 ．
（2）根据你的猜想，计算:                  ．（其中n是正整数）

观察下表三行数的规律，回答下列问题：

	第1列	第2列	第3列	第4列	第5列	第6列	…
第1行	-2	4	-8	a	-32	64	…
第2行	0	6	-6	18	-30	66	…
第3行	-1	2	-4	8	-16	b	…

 
（1）第1行的第四个数a是            ；第3行的第六个数b是          ；
（2）若第1行的某一列的数为c，则第2行与它同一列的数为              ；
（3）已知第n列的三个数的和为2562，若设第1行第n列的数为x，试求x的值．

观察下列各式：
﹣1×=﹣1+
﹣×=﹣+
﹣×=﹣+
…
（1）你能探索出什么规律？（用文字或表达式）
（2）试运用你发现的规律计算：
（﹣1×）+（﹣×）+（﹣×）+…+（﹣×）+（﹣×）

观察下列各个等式的规律：

第一个等式：，第二个等式：，第三个等式：

请用上述等式反映出的规律解决下列问题：

（1）直接写出第四个等式；

（2）猜想第个等式（用的代数式表示），并证明你猜想的等式是正确的．

观察下列等式：，，；将以上三个等式两边分别相加得：．
（1）猜想并写出：．
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①；
②．
（3）探究并计算式子：的值．

下面有8个算式，排成4行2列
2＋2，     2×2
3＋，    3×
4＋，   4×
5＋，    5×
……，    ……
（1）同一行中两个算式的结果怎样？
（2）算式2005＋和2005×的结果相等吗？

观察以下等式：

第1个等式： $\frac{1}{3}\times (1+\frac{2}{1})=2-\frac{1}{1}$，

第2个等式： $\frac{3}{4}\times (1+\frac{2}{2})=2-\frac{1}{2}$，

第3个等式： $\frac{5}{5}\times (1+\frac{2}{3})=2-\frac{1}{3}$，

第4个等式： $\frac{7}{6}\times (1+\frac{2}{4})=2-\frac{1}{4}$．

第5个等式： $\frac{9}{7}\times (1+\frac{2}{5})=2-\frac{1}{5}$．

$\dots$

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第6个等式：　 $\frac{11}{8}\times (1+\frac{2}{6})=2-\frac{1}{6}$　；

（2）写出你猜想的第 $n$个等式：　　（用含 $n$的等式表示），并证明．

阅读下面的材料：

按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为，排在第二位的数称为第二项，记为，依此类推，排在第位的数称为第项，记为．所以，数列的一般形式可以写成：，，，，，．

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用表示．如：数列1，3，5，7，为等差数列，其中，，公差为．

根据以上材料，解答下列问题：

（1）等差数列5，10，15，的公差为　　，第5项是　　．

（2）如果一个数列，，，，，是等差数列，且公差为，那么根据定义可得到：，，，，，．

所以

，

，

由此，请你填空完成等差数列的通项公式：　　．

（3）是不是等差数列，，的项？如果是，是第几项？

如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着，，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等．

尝试 （1）求前4个台阶上数的和是多少？

（2）求第5个台阶上的数是多少？

应用 求从下到上前31个台阶上数的和．

发现 试用含为正整数）的式子表示出数“1”所在的台阶数．

观察下列等式．
1×3+1=4=2²；   
2×4+1=9=3²；
3×5+1=16=4²；  
4×6+1=25=5²；
…
观察后，你发现有何规律？请用含n的式子表示出来．

定义一种新运算，满足下列等式，请你细心观察下列各式：



      
（1）仿照上面式子你可得出：=____________________；
（2）经过探究你可猜想： _____________________；
（3）如果，上面你所得到的算式满足交换律吗？为什么？
（4）如果，试求的值．