小云想用7天的时间背诵若干首诗词,背诵计划如下:
①将诗词分成4组,第组有首,,2,3,4;
②对于第组诗词,第天背诵第一遍,第天背诵第二遍,第天背诵第三遍,三遍后完成背诵,其它天无需背诵,,2,3,4;
第1天 |
第2天 |
第3天 |
第4天 |
第5天 |
第6天 |
第7天 |
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第1组 |
|||||||
第2组 |
|||||||
第3组 |
|||||||
第4组 |
③每天最多背诵14首,最少背诵4首.
解答下列问题:
(1)填入补全上表;
(2)若,,,则的所有可能取值为 ;
(3)7天后,小云背诵的诗词最多为 首.
在数的学习过程中,我们总会对其中一些具有某种特性的数进行研究,如学习自然数时,我们研究了偶数、奇数、合数、质数等.现在我们来研究一种特殊的自然数 “纯数”.
定义:对于自然数,在通过列竖式进行的运算时各位都不产生进位现象,则称这个自然数为“纯数”.
例如:32是“纯数”,因为在列竖式计算时各位都不产生进位现象;23不是“纯数”,因为在列竖式计算时个位产生了进位.
(1)请直接写出1949到2019之间的“纯数”;
(2)求出不大于100的“纯数”的个数,并说明理由.
观察以下等式:
第1个等式:,
第2个等式:,
第3个等式:,
第4个等式:,
第5个等式:,
按照以上规律,解决下列问题:
(1)写出第6个等式: ;
(2)写出你猜想的第个等式: (用含的等式表示),并证明.
阅读下列材料:小明为了计算的值,采用以下方法:
设①
则②
②①得
请仿照小明的方法解决以下问题:
(1) ;
(2) ;
(3)求的和,是正整数,请写出计算过程).
[阅读理解]
我们知道,,那么结果等于多少呢?
在图1所示三角形数阵中,第1行圆圈中的数为1,即,第2行两个圆圈中数的和为,即,;第行个圆圈中数的和为,即,这样,该三角形数阵中共有个圆圈,所有圆圈中数的和为.
[规律探究]
将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵,观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数(如第行的第一个圆圈中的数分别为,2,,发现每个位置上三个圆圈中数的和均为 ,由此可得,这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为: ,因此, .
[解决问题]
根据以上发现,计算:的结果为 .
观察下列等式:
;
;
;
;
已知按一定规律排列的一组数: , , , , , , , , ,若 ,则 (结果用含 的代数式表示).
观察下表三行数的规律,回答下列问题:
|
第1列 |
第2列 |
第3列 |
第4列 |
第5列 |
第6列 |
… |
第1行 |
-2 |
4 |
-8 |
a |
-32 |
64 |
… |
第2行 |
0 |
6 |
-6 |
18 |
-30 |
66 |
… |
第3行 |
-1 |
2 |
-4 |
8 |
-16 |
b |
… |
(1)第1行的第四个数a是 ;第3行的第六个数b是 ;
(2)若第1行的某一列的数为c,则第2行与它同一列的数为 ;
(3)已知第n列的三个数的和为2562,若设第1行第n列的数为x,试求x的值.
观察下列各个等式的规律:
第一个等式:,第二个等式:,第三个等式:
请用上述等式反映出的规律解决下列问题:
(1)直接写出第四个等式;
(2)猜想第个等式(用的代数式表示),并证明你猜想的等式是正确的.
观察以下等式:
第1个等式: ,
第2个等式: ,
第3个等式: ,
第4个等式: .
第5个等式: .
按照以上规律,解决下列问题:
(1)写出第6个等式: ;
(2)写出你猜想的第 个等式: (用含 的等式表示),并证明.
下面有8个算式,排成4行2列
2+2, 2×2
3+, 3×
4+, 4×
5+, 5×
……, ……
(1)同一行中两个算式的结果怎样?
(2)算式2005+和2005×的结果相等吗?
阅读下面的材料:
按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.排在第一位的数称为第一项,记为,排在第二位的数称为第二项,记为,依此类推,排在第位的数称为第项,记为.所以,数列的一般形式可以写成:,,,,,.
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,那么这个数列叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用表示.如:数列1,3,5,7,为等差数列,其中,,公差为.
根据以上材料,解答下列问题:
(1)等差数列5,10,15,的公差为 ,第5项是 .
(2)如果一个数列,,,,,是等差数列,且公差为,那么根据定义可得到:,,,,,.
所以
,
,
由此,请你填空完成等差数列的通项公式: .
(3)是不是等差数列,,的项?如果是,是第几项?
如图,阶梯图的每个台阶上都标着一个数,从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着,,1,9,且任意相邻四个台阶上数的和都相等.
尝试 (1)求前4个台阶上数的和是多少?
(2)求第5个台阶上的数是多少?
应用 求从下到上前31个台阶上数的和.
发现 试用含为正整数)的式子表示出数“1”所在的台阶数.