观察下列等式:
2 + 2 2 = 2 3 - 2 ;
2 + 2 2 + 2 3 = 2 4 - 2 ;
2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 = 2 5 - 2 ;
2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 = 2 6 - 2 ;
…
已知按一定规律排列的一组数: 2 20 , 2 21 , 2 22 , 2 23 , 2 24 , … , 2 38 , 2 39 , 2 40 ,若 2 20 = m ,则 2 20 + 2 21 + 2 22 + 2 23 + 2 24 + … + 2 38 + 2 39 + 2 40 = (结果用含 m 的代数式表示).
在平面直角坐标系中,二次函数()的图象与轴正半轴交于A点.(1)求证:该二次函数的图象与x轴必有两个交点;(2)设该二次函数的图象与x轴的两个交点中右侧的交点为点B,若∠ABO=45°,将直线AB向下平移2个单位得到直线l,求直线l的解析式;(3)在(2)的条件下,设M(p,q)为二次函数图象上的一个动点,当时,点M关于x轴的对称点都在直线l的下方,求m的取值范围.
阅读下面材料:在学习小组活动中,小明探究了下面问题:菱形纸片ABCD的边长为2,折叠菱形纸片,将B、D两点重合在对角线BD上的同一点处,折痕分别为EF、GH.当重合点在对角线BD上移动时,六边形AEFCHG的周长的变化情况是怎样的?小明发现:若∠ABC=60°,①如图1,当重合点在菱形的对称中心O处时,六边形AEFCHG的周长为_________;②如图2,当重合点在对角线BD上移动时,六边形AEFCHG的周长_________(填“改变”或“不变”).请帮助小明解决下面问题:如果菱形纸片ABCD边长仍为2,改变∠ABC的大小,折痕EF的长为m.(1)如图3,若∠ABC=120°,则六边形AEFCHG的周长为_________;(2)如图4,若∠ABC的大小为,则六边形AEFCHG的周长可表示为________.
如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O与边BC、AC分别交于D、E两点, DFAC于F.(1)求证:DF为⊙O的切线;(2)若,CF=9,求AE的长.
社会消费品通常按类别分为:吃类商品、穿类商品、用类商品、烧类商品,其零售总额是反映居民生活水平的一项重要数据.为了了解北京市居民近几年的生活水平,小红参考北京统计信息网的相关数据绘制了统计图的一部分:(1)北京市2013年吃类商品的零售总额占社会消费品零售总额的百分比为 ;(2)北京市2013年吃类商品零售总额约为1673亿元,那么当年的社会消费品零售总额约为 亿元;请补全条形统计图,并标明相应的数据;(3)小红根据条形统计图中的数据,绘制了北京市2010至2013年社会消费品零售总额年增长率统计表(如下表),其中2013年的年增长率为 (精确到1%);请你估算,如果按照2013年的年增长率持续增长,当年社会消费品零售总额超过10000亿元时,最早要到 年(填写年份).
如图,在△ABC中,∠ACB=90º,∠ABC=30º,BC=,以AC为边在△ABC的外部作等边△ACD,连接BD. (1)求四边形ABCD的面积; (2)求BD的长.