观察下列各个等式的规律：

第一个等式：$\frac{2^2-1^2-1}{2}=1$，第二个等式：$\frac{3^2-2^2-1}{2}=2$，第三个等式：$\frac{4^2-3^2-1}{2}=3\dots$

请用上述等式反映出的规律解决下列问题：

（1）直接写出第四个等式；

（2）猜想第$n$个等式（用$n$的代数式表示），并证明你猜想的等式是正确的．