高中物理计算题

霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。 $xOy$平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为 $B$。质量为 $m$、电荷量为 $e$的电子从 $O$点沿 $x$轴正方向水平入射，入射速度为 $v_0$时，电子沿 $x$轴做直线运动；入射速度小于 $v_0$时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。

（1）求电场强度的大小 $E$；

（2）若电子入射速度为 $\frac{v_0}{4}$，求运动到速度为 $\frac{v_0}{2}$时位置的纵坐标 $y_1$；

（3）若电子入射速度在 $0<v<v_0$范围内均匀分布，求能到达纵坐标 $y_2=\frac{m{v}_0}{5eB}$位置的电子数 $N$占总电子数 $N_0$的百分比。

如图所示，滑雪道 $AB$由坡道和水平道组成，且平滑连接，坡道倾角均为 $45°$。平台 $BC$与缓冲坡 $CD$相连，若滑雪者从 $P$点由静止开始下滑，恰好到达 $B$点。滑雪者现从 $A$点由静止开始下滑，从 $B$点飞出。已知 $A$、 $P$间的距离为 $d$，滑雪者与滑道间的动摩擦因数均为 $\mu$，重力加速度为 $g$，不计空气阻力。

（1）求滑雪者运动到 $P$点的时间 $t$；

（2）求滑雪者从 $B$点飞出的速度大小 $v$；

（3）若滑雪者能着陆在缓冲坡 $CD$上，求平台 $BC$的最大长度 $L$。

“夸父一号”太阳探测卫星可以观测太阳辐射的硬 $X$射线。硬 $X$射线是波长很短的光子，设波长为 $\lambda$。若太阳均匀地向各个方向辐射硬 $X$射线，卫星探测仪镜头正对着太阳，每秒接收到 $N$个该种光子。已知探测仪镜头面积为 $S$，卫星离太阳中心的距离为 $R$，普朗克常量为 $h$，光速为 $c$，求：

（1）每个光子的动量和能量 $E$；

（2）太阳辐射硬 $X$射线的总功率 $P$。

“转碟”是传统的杂技项目。如图所示，质量为 $m$的发光物体放在半径为 $r$的碟子边缘，杂技演员用杆顶住碟子中心，使发光物体随碟子一起在水平面内绕 $A$点做匀速圆周运动。当角速度为 ${\omega }_0$时，碟子边缘看似一个光环。求此时发光物体的速度大小 $v_0$和受到的静摩擦力大小 $f$。

如图，水平桌面上固定一光滑U型金属导轨，其平行部分的间距为 $l$，导轨的最右端与桌子右边缘对齐，导轨的电阻忽略不计。导轨所在区域有方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为 $B$。一质量为 $m$、电阻为 $R$、长度也为 $l$的金属棒P静止在导轨上。导轨上质量为 $3m$的绝缘棒Q位于P的左侧，以大小为 $v_0$的速度向P运动并与P发生弹性碰撞，碰撞时间很短。碰撞一次后，P和Q先后从导轨的最右端滑出导轨，并落在地面上同一地点。P在导轨上运动时，两端与导轨接触良好，P与Q始终平行。不计空气阻力。求

（1）金属棒P滑出导轨时的速度大小；

（2）金属体P在导轨上运动过程中产生的热量；

（3）与P碰撞后，绝缘棒Q在导轨上运动的时间。

如图，光滑水平桌面上有一轻质弹黄，其一端固定在墙上。用质量为m的小球压弹簧的另一端，使弹簧的弹性势能为 $E_{\text{p}}$。释放后，小球在弹簧作用下从静止开始在桌面上运动，与弹簧分离后，从桌面水平飞出。小球与水平地面碰撞后瞬间，其平行于地面的速度分量与碰撞前瞬间相等；垂直于地面的速度分量大小变为碰撞前瞬间的 $\frac{4}{5}$。小球与地而碰撞后，弹起的最大高度为h。重力加速度大小为g，忽略空气阻力。求

（1）小球离开桌面时的速度大小；

（2）小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离。

如图为某药品自动传送系统的示意图．该系统由水平传送带、竖直螺旋滑槽和与滑槽平滑连接的平台组成，滑槽高为 $3L$，平台高为 $L$。药品盒A、B依次被轻放在以速度 $v_0$匀速运动的传送带上，在与传送带达到共速后，从 $M$点进入滑槽，A刚好滑到平台最右端 $N$点停下，随后滑下的B以 $2v_0$的速度与A发生正碰，碰撞时间极短，碰撞后A、B恰好落在桌面上圆盘内直径的两端。已知A、B的质量分别为 $m$和 $2m$，碰撞过程中损失的能量为碰撞前瞬间总动能的 $\frac{1}{4}$。 $A$与传送带间的动摩擦因数为 $\mu$，重力加速度为g，AB在滑至N点之前不发生碰撞，忽略空气阻力和圆盘的高度，将药品盒视为质点。求：

（1）A在传送带上由静止加速到与传送带共速所用的时间 $t$；

（2）B从 $M$点滑至 $N$点的过程中克服阻力做的功 $W$；

（3）圆盘的圆心到平台右端 $N$点的水平距离 $s$．

光滑绝缘的水平面上有垂直平面的匀强磁场，磁场被分成区域Ⅰ和Ⅱ，宽度均为 $h$，其俯视图如图（a）所示，两磁场磁感应强度随时间 $t$的变化如图（b）所示， $0\sim \tau$时间内，两区域磁场恒定，方向相反，磁感应强度大小分别为 $2B_0$和 $B_0$，一电阻为 $R$，边长为 $h$的刚性正方形金属框 $\mathit{abcd}$，平放在水平面上， $\mathit{ab}、\mathit{cd}$边与磁场边界平行． $t=0$时，线框 $\mathit{ab}$边刚好跨过区域Ⅰ的左边界以速度 $v$向右运动．在 $\tau$时刻， $\mathit{ab}$边运动到距区域Ⅰ的左边界 $\frac{h}{2}$处，线框的速度近似为零，此时线框被固定，如图（a）中的虚线框所示。随后在 $\tau \sim 2\tau$时间内，Ⅰ区磁感应强度线性减小到0，Ⅱ区磁场保持不变； $2\tau \sim 3\tau$时间内，Ⅱ区磁感应强度也线性减小到0。求：

（1） $t=0$时线框所受的安培力 $F$；

（2） $t=1.2\tau$时穿过线框的磁通量 $\varphi$；

（3） $2\tau \sim 3\tau$时间内，线框中产生的热量 $Q$。

在驻波声场作用下，水中小气泡周围液体的压强会发生周期性变化，使小气泡周期性膨胀和收缩，气泡内气体可视为质量不变的理想气体，其膨胀和收缩过程可简化为如图所示的 $p-V$图像，气泡内气体先从压强为 $p_0$、体积为 $V_0$、温度为 $T_0$的状态 $A$等温膨胀到体积为 $5V_0$、压强为 $p_B$的状态 $B$，然后从状态 $B$绝热收缩到体积为 $V_0$、压强为 $1.9p_0$、温度为 $T_C$的状态 $C,B$到 $C$过程中外界对气体做功为 $W$．已知 $p_0、V_0、T_0$和 $W$．求：

（1） $p_B$的表达式；

（2） $T_C$的表达式；

（3） $B$到 $C$过程，气泡内气体的内能变化了多少？

某同学设计了一种粒子加速器的理想模型。如图所示， $\mathit{xOy}$平面内，x轴下方充满垂直于纸面向外的匀强磁场，x轴上方被某边界分割成两部分，一部分充满匀强电场（电场强度与 $y$轴负方向成 $\alpha$角），另一部分无电场，该边界与y轴交于M点，与x轴交于N点。只有经电场到达N点、与 $x$轴正方向成 $\alpha$角斜向下运动的带电粒子才能进入磁场。从M点向电场内发射一个比荷为 $\frac{q}{m}$的带电粒子A，其速度大小为 $v_0$、方向与电场方向垂直，仅在电场中运动时间T后进入磁场，且通过N点的速度大小为 $2v_0$。忽略边界效应，不计粒子重力。

（1）求角度 $\alpha$及M、N两点的电势差。

（2）在该边界上任意位置沿与电场垂直方向直接射入电场内的、比荷为 $\frac{q}{m}$的带电粒子，只要速度大小适当，就能通过N点进入磁场，求N点横坐标及此边界方程。

（3）若粒子A第一次在磁场中运动时磁感应强度大小为 $B_1$，以后每次在磁场中运动时磁感应强度大小为上一次的一半，则粒子A从M点发射后，每次加速均能通过N点进入磁场。求磁感应强度大小 $B_1$及粒子A从发射到第n次通过N点的时间。

如图所示，桌面上固定有一半径为R的水平光滑圆轨道，M、N为轨道上的两点，且位于同一直径上，P为MN段的中点。在P点处有一加速器（大小可忽略），小球每次经过P点后，其速度大小都增加 $v_0$。质量为m的小球1从N处以初速度 $v_0$沿轨道逆时针运动，与静止在M处的小球2发生第一次弹性碰撞，碰后瞬间两球速度大小相等。忽略每次碰撞时间。求：

（1）球1第一次经过P点后瞬间向心力的大小；

（2）球2的质量；

（3）两球从第一次碰撞到第二次碰撞所用时间。

机械臂广泛应用于机械装配。若某质量为m的工件（视为质点）被机械臂抓取后，在竖直平面内由静止开始斜向上做加速度大小为a的匀加速直线运动，运动方向与竖直方向夹角为θ，提升高度为h，如图所示。求：

（1）提升高度为h时，工件的速度大小；

（2）在此过程中，工件运动的时间及合力对工件做的功。

秋千由踏板和绳构成，人在秋千上的摆动过程可以简化为单摆的摆动，等效“摆球”的质量为 $m$，人蹲在踏板上时摆长为 $l_{\text{1}}$，人站立时摆长为 $l_2$。不计空气阻力，重力加速度大小为 $g$。

（1）如果摆长为 $l_{\text{1}}$，“摆球”通过最低点时的速度为 $v$，求此时“摆球”受到拉力 $T$的大小。

（2）在没有别人帮助的情况下，人可以通过在低处站起、在高处蹲下的方式使“摆球”摆得越来越高。

a.人蹲在踏板上从最大摆角 ${\theta }_1$开始运动，到最低点时突然站起，此后保持站立姿势摆到另一边的最大摆角为 ${\theta }_2$。假定人在最低点站起前后“摆球”摆动速度大小不变，通过计算证明 ${\theta }_2>{\theta }_1$。

b.实际上人在最低点快速站起后“摆球”摆动速度的大小会增大。随着摆动越来越高，达到某个最大摆角 $\theta$后，如果再次经过最低点时，通过一次站起并保持站立姿势就能实现在竖直平面内做完整的圆周运动，求在最低点“摆球”增加的动能 $\Delta E_{\text{k}}$应满足的条件。

如图所示， $M$为粒子加速器； $N$为速度选择器，两平行导体板之间有方向相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里，磁感应强度为 $B$。从 $S$点释放一初速度为0、质量为 $m$、电荷量为 $q$的带正电粒子，经 $M$加速后恰能以速度 $v$沿直线（图中平行于导体板的虚线）通过 $N$。不计重力。

（1）求粒子加速器 $M$的加速电压 $U$；

（2）求速度选择器N两板间的电场强度 $E$的大小和方向；

（3）仍从 $S$点释放另一初速度为0、质量为 $2m$、电荷量为 $q$的带正电粒子，离开N时粒子偏离图中虚线的距离为 $d$，求该粒子离开N时的动能 $E_{\text{k}}$。

如图所示，小物块A、B的质量均为 $m=0.10kg$，B静止在轨道水平段的末端。A以水平速度 $v_0$与B碰撞，碰后两物块粘在一起水平抛出。抛出点距离水平地面的竖直高度为 $h=0.45m$，两物块落地点距离轨道末端的水平距离为 $s=0.30m$，取重力加速度 $g=10m/s^2$。求：

（1）两物块在空中运动的时间t；

（2）两物块碰前A的速度 $v_0$的大小；

（3）两物块碰撞过程中损失的机械能 $\mathit{\Delta E}$。