某同学设计了一种粒子加速器的理想模型。如图所示， $\mathit{xOy}$平面内，x轴下方充满垂直于纸面向外的匀强磁场，x轴上方被某边界分割成两部分，一部分充满匀强电场（电场强度与 $y$轴负方向成 $\alpha$角），另一部分无电场，该边界与y轴交于M点，与x轴交于N点。只有经电场到达N点、与 $x$轴正方向成 $\alpha$角斜向下运动的带电粒子才能进入磁场。从M点向电场内发射一个比荷为 $\frac{q}{m}$的带电粒子A，其速度大小为 $v_0$、方向与电场方向垂直，仅在电场中运动时间T后进入磁场，且通过N点的速度大小为 $2v_0$。忽略边界效应，不计粒子重力。

（1）求角度 $\alpha$及M、N两点的电势差。

（2）在该边界上任意位置沿与电场垂直方向直接射入电场内的、比荷为 $\frac{q}{m}$的带电粒子，只要速度大小适当，就能通过N点进入磁场，求N点横坐标及此边界方程。

（3）若粒子A第一次在磁场中运动时磁感应强度大小为 $B_1$，以后每次在磁场中运动时磁感应强度大小为上一次的一半，则粒子A从M点发射后，每次加速均能通过N点进入磁场。求磁感应强度大小 $B_1$及粒子A从发射到第n次通过N点的时间。