高中数学空间向量的应用试题

（满分12分）如图，在直三棱柱中，∠ACB=90°；AC=BC=CC₁=2。

（1）求证：AB₁⊥BC₁；
（2）求点B到平面的距离；
（3）求二面角的大小。

如图，斜三棱柱的底面是直角三角形，，点在底面内的射影恰好是的中点，且．

（1）求证：平面平面；
（2）若二面角的余弦值为，求斜三棱柱的侧棱 的长度．

如图，已知四棱锥的底面为菱形，，，.

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.

（本小题满分13分）如图，是圆的直径，是圆上异于的一个动点，垂直于圆所在的平面，DC∥EB，．

（1）求证：；
（2）当三棱锥C-ADE体积最大时，求平面AED与平面ABE所成的锐二面角的余弦值．

设为两条不同的直线，为两个不同的平面．下列命题中，正确的是（  ）

A．若与所成的角相等，则

B．若，，则

C．若，，则

D．若，，则

（本小题满分8分）如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，∠ADB=90°，AB=2AD．

（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PBD；
（Ⅱ）若PD=AD=1，，求二面角P−AD−E的余弦值．

三条不重合的直线a，b，c及三个不重合的平面α，β，γ，下列命题正确的是（ ）

A．若a∥α，a∥β，则α∥β

B．若α∩β=a，α⊥γ，β⊥γ，则a⊥γ

C．若a⊂α，b⊂α，c⊂β，c⊥a，c⊥b，则α⊥β

D．若α∩β=a，c⊂γ，c∥α，c∥β，则a∥γ

（本小题满分12分）如图，在中，已知在上，且又平面.

（Ⅰ）求证：⊥平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．

（本小题满分12分）如图,四棱锥,侧面是边长为的正三角形,且与底面垂直,底面是的菱形,为的中点．

（Ⅰ）求证:；
（Ⅱ）求点到平面的距离．

（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）
如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点在线段上，平面．

（1）求证：平面；
（2）若，，求二面角的大小．

（本小题满分12分）如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．

（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离．

设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若⊥，∥，则⊥；   
②若⊥，⊥，则∥；
③若∥，∥， ⊥，则⊥；
④若，=，∥ ，则∥．
其中正确命题的序号是（  ）

A．①和③

B．②和③

C．③和④

D．①和④

如图,在三棱锥中, 平面, , ,  ,分别是的中点．

（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值；
（3）求点到平面的距离．

如图，是半径为的半圆，为直径，点为的中点，点和点为线段的三等分点，平面外一点满足 平面，．

（1）证明：；
（2）求点到平面的距离．

如图，三角形是边长为4的正三角形，底面，，点是的中点，点在上，且．

（1）证明：平面平面；
（2）求直线和平面所成角的正弦值．