初中数学轴对称-最短路线问题试题

如图，直线 $y=\mathit{kx}+b(k$、 $b$为常数）分别与 $x$轴、 $y$轴交于点 $A(-4,0)$、 $B(0,3)$，抛物线 $y=-x^2+2x+1$与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求直线 $y=\mathit{kx}+b$的函数解析式；

（2）若点 $P(x,y)$是抛物线 $y=-x^2+2x+1$上的任意一点，设点 $P$到直线 $\mathit{AB}$的距离为 $d$，求 $d$关于 $x$的函数解析式，并求 $d$取最小值时点 $P$的坐标；

（3）若点 $E$在抛物线 $y=-x^2+2x+1$的对称轴上移动，点 $F$在直线 $\mathit{AB}$上移动，求 $\mathit{CE}+\mathit{EF}$的最小值．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$， $\angle \mathit{ACB}=90°$，点 $D$在 $\mathit{BC}$上， $\mathit{BD}=3$， $\mathit{DC}=1$，点 $P$是 $\mathit{AB}$上的动点，则 $\mathit{PC}+\mathit{PD}$的最小值为 $($　　 $)$

A．4B．5C．6D．7

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的对称轴为直线 $x=-1$，且抛物线经过 $A(1,0)$， $C(0,3)$两点，与 $x$轴交于点 $B$．

（1）若直线 $y=\mathit{mx}+n$经过 $B$、 $C$两点，求直线 $\mathit{BC}$和抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴 $x=-1$上找一点 $M$，使点 $M$到点 $A$的距离与到点 $C$的距离之和最小，求出点 $M$的坐标；

（3）设点 $P$为抛物线的对称轴 $x=-1$上的一个动点，求使 $\mathit{\Delta BPC}$为直角三角形的点 $P$的坐标．

已知 $\angle \mathit{AOB}=60°$，点 $P$是 $\angle \mathit{AOB}$的平分线 $\mathit{OC}$上的动点，点 $M$在边 $\mathit{OA}$上，且 $\mathit{OM}=4$，则点 $P$到点 $M$与到边 $\mathit{OA}$的距离之和的最小值是　     　．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=6$，点 $E$为 $\mathit{BC}$的中点，将 $\mathit{\Delta ABE}$沿 $\mathit{AE}$折叠，使点 $B$落在矩形内点 $F$处，连接 $\mathit{CF}$，则 $\mathit{CF}$的长为 $($　　 $)$

A． $\frac{9}{5}$B． $\frac{12}{5}$C． $\frac{16}{5}$D． $\frac{18}{5}$

如图，已知菱形 $\mathit{OABC}$的边 $\mathit{OA}$在 $x$轴上，点 $B$的坐标为 $(8,4)$，点 $P$是对角线 $\mathit{OB}$上的一个动点，点 $D(0,2)$在 $y$轴上，当 $\mathit{CP}+\mathit{DP}$最短时，点 $P$的坐标为　　．

(回顾）

如图1， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle B=30°$， $\mathit{AB}=3$， $\mathit{BC}=4$，则 $\mathit{\Delta ABC}$的面积等于　    　．

（探究）

图2是同学们熟悉的一副三角尺，一个含有 $30°$的角，较短的直角边长为 $a$；另一个含有 $45°$的角，直角边长为 $b$，小明用两副这样的三角尺拼成一个平行四边形 $\mathit{ABCD}$（如图 $3)$，用了两种不同的方法计算它的面积，从而推出 $\sin 75°=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，小丽用两副这样的三角尺拼成了一个矩形 $\mathit{EFGH}$（如图 $4)$，也推出 $\sin 75°=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，请你写出小明或小丽推出 $\sin 75°=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$的具体说理过程．

（应用）

在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$， $\angle D=75°$， $\mathit{BC}=6$， $\mathit{CD}=5$， $\mathit{AD}=10$（如图5）

（1）点 $E$在 $\mathit{AD}$上，设 $t=\mathit{BE}+\mathit{CE}$，求 $t^2$的最小值；

（2）点 $F$在 $\mathit{AB}$上，将 $\mathit{\Delta BCF}$沿 $\mathit{CF}$翻折，点 $B$落在 $\mathit{AD}$上的点 $G$处，点 $G$是 $\mathit{AD}$的中点吗？说明理由．

如图，将边长为6的正三角形纸片 $\mathit{ABC}$按如下顺序进行两次折叠，展平后，得折痕 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BE}$（如图①），点 $O$为其交点．

（1）探求 $\mathit{AO}$与 $\mathit{OD}$的数量关系，并说明理由；

（2）如图②，若 $P$， $N$分别为 $\mathit{BE}$， $\mathit{BC}$上的动点．

①当 $\mathit{PN}+\mathit{PD}$的长度取得最小值时，求 $\mathit{BP}$的长度；

②如图③，若点 $Q$在线段 $\mathit{BO}$上， $\mathit{BQ}=1$，则 $\mathit{QN}+\mathit{NP}+\mathit{PD}$的最小值 $=$　    　．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为3，点 $E$在边 $\mathit{AB}$上，且 $\mathit{BE}=1$，若点 $P$在对角线 $\mathit{BD}$上移动，则 $\mathit{PA}+\mathit{PE}$的最小值是　    　．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=10$， $\mathit{BC}=5$，点 $E$， $F$， $G$， $H$分别在矩形 $\mathit{ABCD}$各边上，且 $\mathit{AE}=\mathit{CG}$， $\mathit{BF}=\mathit{DH}$，则四边形 $\mathit{EFGH}$周长的最小值为 $($　　 $)$

A． $5\sqrt{5}$B． $10\sqrt{5}$C． $10\sqrt{3}$D． $15\sqrt{3}$

矩形 $\mathit{OABC}$在平面直角坐标系中的位置如图所示，点 $B$的坐标为 $(3,4)$， $D$是 $\mathit{OA}$的中点，点 $E$在 $\mathit{AB}$上，当 $\mathit{\Delta CDE}$的周长最小时，点 $E$的坐标为 $($　　 $)$

A． $(3,1)$B． $(3,\frac{4}{3})$C． $(3,\frac{5}{3})$D． $(3,2)$

平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，已知 $A(-1,0)$、 $B(3,0)$、 $C(0,-1)$三点， $D(1,m)$是一个动点，当 $\mathit{\Delta ACD}$的周长最小时， $\mathit{\Delta ABD}$的面积为 $($　　 $)$

A． $\frac{1}{3}$B． $\frac{2}{3}$C． $\frac{4}{3}$D． $\frac{8}{3}$

如图，在平面直角坐标系中，矩形 $\mathit{OABC}$的边 $\mathit{BC}$交 $x$轴于点 $D$， $\mathit{AD}\perp x$轴，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象经过点 $A$，点 $D$的坐标为 $(3,0)$， $\mathit{AB}=\mathit{BD}$．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）点 $P$为 $y$轴上一动点，当 $\mathit{PA}+\mathit{PB}$的值最小时，求出点 $P$的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，点 $A$， $C$分别在 $x$轴、 $y$轴上，四边形 $\mathit{ABCO}$是边长为4的正方形，点 $D$为 $\mathit{AB}$的中点，点 $P$为 $\mathit{OB}$上的一个动点，连接 $\mathit{DP}$， $\mathit{AP}$，当点 $P$满足 $\mathit{DP}+\mathit{AP}$的值最小时，直线 $\mathit{AP}$的解析式为　　．

如图，在锐角三角形 $\mathit{ABC}$中， $\mathit{BC}=4$， $\angle \mathit{ABC}=60°$， $\mathit{BD}$平分 $\angle \mathit{ABC}$，交 $\mathit{AC}$于点 $D$， $M$， $N$分别是 $\mathit{BD}$， $\mathit{BC}$上的动点，则 $\mathit{CM}+\mathit{MN}$的最小值是 $($　　 $)$

A． $\sqrt{3}$B．2C． $2\sqrt{3}$D．4