初中数学圆试题

结果如此巧合 $!$

下面是小颖对一道题目的解答．

题目：如图， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$的内切圆与斜边 $\mathit{AB}$相切于点 $D$， $\mathit{AD}=3$， $\mathit{BD}=4$，求 $\mathit{\Delta ABC}$的面积．

解：设 $\mathit{\Delta ABC}$的内切圆分别与 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$相切于点 $E$、 $F$， $\mathit{CE}$的长为 $x$．

根据切线长定理，得 $\mathit{AE}=\mathit{AD}=3$， $\mathit{BF}=\mathit{BD}=4$， $\mathit{CF}=\mathit{CE}=x$．

根据勾股定理，得 ${(x+3)}^2+{(x+4)}^2={(3+4)}^2$．

整理，得 $x^2+7x=12$．

所以 $S_{\mathit{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}\mathit{AC}·\mathit{BC}$

$=\frac{1}{2}(x+3)(x+4)$

$=\frac{1}{2}(x^2+7x+12)$

$=\frac{1}{2}\times (12+12)$

$=12$．

小颖发现12恰好就是 $3\times 4$，即 $\mathit{\Delta ABC}$的面积等于 $\mathit{AD}$与 $\mathit{BD}$的积．这仅仅是巧合吗？

请你帮她完成下面的探索．

已知： $\mathit{\Delta ABC}$的内切圆与 $\mathit{AB}$相切于点 $D$， $\mathit{AD}=m$， $\mathit{BD}=n$．

可以一般化吗？

（1）若 $\angle C=90°$，求证： $\mathit{\Delta ABC}$的面积等于 $\mathit{mn}$．

倒过来思考呢？

（2）若 $\mathit{AC}·\mathit{BC}=2\mathit{mn}$，求证 $\angle C=90°$．

改变一下条件 $\dots \dots$

（3）若 $\angle C=60°$，用 $m$、 $n$表示 $\mathit{\Delta ABC}$的面积．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$中， $E$是 $\mathit{AB}$上一点，连接 $\mathit{DE}$．过点 $A$作 $\mathit{AF}\perp \mathit{DE}$，垂足为 $F$， $\odot O$经过点 $C$、 $D$、 $F$，与 $\mathit{AD}$相交于点 $G$．

（1）求证： $\mathit{\Delta AFG}\backsim \mathit{\Delta DFC}$；

（2）若正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为4， $\mathit{AE}=1$，求 $\odot O$的半径．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=5$， $\mathit{BC}=4$，以 $\mathit{CD}$为直径作 $\odot O$．将矩形 $\mathit{ABCD}$绕点 $C$

旋转，使所得矩形 $A\text{'}B\text{'}\mathit{CD}\text{'}$的边 $A\text{'}B\text{'}$与 $\odot O$相切，切点为 $E$，边 $\mathit{CD}\text{'}$与 $\odot O$相交于点

$F$，则 $\mathit{CF}$的长为　　．

如图，一次函数 $y=\mathit{kx}+b$的图象与 $x$轴、 $y$轴分别相交于 $A$、 $B$两点， $\odot O$经过 $A$， $B$两点，已知 $\mathit{AB}=2$，则 $\frac{k}{b}$的值为　　．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的弦，点 $C$在过点 $B$的切线上，且 $\mathit{OC}\perp \mathit{OA}$， $\mathit{OC}$交 $\mathit{AB}$于点 $P$，已知 $\angle \mathit{OAB}=22°$，则 $\angle \mathit{OCB}=$　　．

一个扇形的圆心角是 $120°$．它的半径是 $3\mathit{cm}$．则扇形的弧长为　　 $\mathit{cm}$．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{AC}$是 $\odot O$的切线，切点为 $A$， $\mathit{BC}$交 $\odot O$于点 $D$，点 $E$是 $\mathit{AC}$的中点．

（1）试判断直线 $\mathit{DE}$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由；

（2）若 $\odot O$的半径为2， $\angle B=50°$， $\mathit{AC}=4.8$，求图中阴影部分的面积．

如图，点 $A$、 $B$、 $C$都在 $\odot O$上，若 $\angle \mathit{AOC}=140°$，则 $\angle B$的度数是 $($　　 $)$

A． $70°$B． $80°$C． $110°$D． $140°$

如图， $\mathit{\Delta ABC}$是 $\odot O$的内接三角形， $\angle \mathit{BAC}=60°$， $\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$的长是 $\frac{4\pi }{3}$，则 $\odot O$的半径是　　．

某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺 $\mathit{CA}$的0刻度固定在半圆的圆心 $O$处，刻度尺可以绕点 $O$旋转．从图中所示的图尺可读出 $\sin \angle \mathit{AOB}$的值是 $($　　 $)$

A． $\frac{5}{8}$B． $\frac{7}{8}$C． $\frac{7}{10}$D． $\frac{4}{5}$

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{MN}$是 $\odot O$的切线，切点为 $N$，如果 $\angle \mathit{MNB}=52°$，则 $\angle \mathit{NOA}$的度数为 $($　　 $)$

A． $76°$B． $56°$C． $54°$D． $52°$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $O$为 $\mathit{AC}$上一点，以点 $O$为圆心， $\mathit{OC}$为半径做圆，与 $\mathit{BC}$相切于点 $C$，过点 $A$作 $\mathit{AD}\perp \mathit{BO}$交 $\mathit{BO}$的延长线于点 $D$，且 $\angle \mathit{AOD}=\angle \mathit{BAD}$．

（1）求证： $\mathit{AB}$为 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{BC}=6$， $\tan \angle \mathit{ABC}=\frac{4}{3}$，求 $\mathit{AD}$的长．

如图，已知 $P$为锐角 $\angle \mathit{MAN}$内部一点，过点 $P$作 $\mathit{PB}\perp \mathit{AM}$于点 $B$， $\mathit{PC}\perp \mathit{AN}$于点 $C$，以 $\mathit{PB}$为直径作 $\odot O$，交直线 $\mathit{CP}$于点 $D$，连接 $\mathit{AP}$， $\mathit{BD}$， $\mathit{AP}$交 $\odot O$于点 $E$．

（1）求证： $\angle \mathit{BPD}=\angle \mathit{BAC}$．

（2）连接 $\mathit{EB}$， $\mathit{ED}$，当 $\tan \angle \mathit{MAN}=2$， $\mathit{AB}=2\sqrt{5}$时，在点 $P$的整个运动过程中．

①若 $\angle \mathit{BDE}=45°$，求 $\mathit{PD}$的长．

②若 $\mathit{\Delta BED}$为等腰三角形，求所有满足条件的 $\mathit{BD}$的长．

（3）连接 $\mathit{OC}$， $\mathit{EC}$， $\mathit{OC}$交 $\mathit{AP}$于点 $F$，当 $\tan \angle \mathit{MAN}=1$， $\mathit{OC}//\mathit{BE}$时，记 $\mathit{\Delta OFP}$的面积为 $S_1$， $\mathit{\Delta CFE}$的面积为 $S_2$，请写出 $\frac{S_1}{S_2}$的值．

如图， $D$是 $\mathit{\Delta ABC}$的 $\mathit{BC}$边上一点，连接 $\mathit{AD}$，作 $\mathit{\Delta ABD}$的外接圆，将 $\mathit{\Delta ADC}$沿直线 $\mathit{AD}$折叠，点 $C$的对应点 $E$落在 $\odot O$上．

（1）求证： $\mathit{AE}=\mathit{AB}$．

（2）若 $\angle \mathit{CAB}=90°$， $\cos \angle \mathit{ADB}=\frac{1}{3}$， $\mathit{BE}=2$，求 $\mathit{BC}$的长．

小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2所示的图形．图2中六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接正六边形和一个小正六边形，若 $\mathit{PQ}$所在的直线经过点 $M$， $\mathit{PB}=5\mathit{cm}$，小正六边形的面积为 $\frac{49\sqrt{3}}{2}c{m}^2$，则该圆的半径为 　 $\mathit{cm}$．