初中数学等腰三角形的性质试题

如图， $\mathit{PA}$ 、 $\mathit{PB}$ 为圆 $O$ 的切线，切点分别为 $A$ 、 $B$ ， $\mathit{PO}$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $C$ ， $\mathit{PO}$ 的延长线交圆 $O$ 于点 $D$ ，下列结论不一定成立的是 $($ 　　 $)$

A．

$\mathit{PA}=\mathit{PB}$

B．

$\angle \mathit{BPD}=\angle \mathit{APD}$

C．

$\mathit{AB}\perp \mathit{PD}$

D．

$\mathit{AB}$ 平分 $\mathit{PD}$

如图，在等腰中，，是的角平分线，且，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，交于点．

（1）求由弧及线段、、围成图形（图中阴影部分）的面积；

（2）将阴影部分剪掉，余下扇形，将扇形围成一个圆锥的侧面，与正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{BAC}=90°$ ， $\angle B=36°$ ， $\mathit{AD}$ 是斜边 $\mathit{BC}$ 上的中线，将 $\mathit{\Delta ACD}$ 沿 $\mathit{AD}$ 对折，使点 $C$ 落在点 $F$ 处，线段 $\mathit{DF}$ 与 $\mathit{AB}$ 相交于点 $E$ ，则 $\angle \mathit{BED}$ 等于 $($ 　　 $)$

A．

$120°$

B．

$108°$

C．

$72°$

D．

$36°$

若等腰三角形的一个底角为，则这个等腰三角形的顶角为　 　．

在等腰三角形中，，作交于点，交于点．

（1）在图1中，求证：；

（2）在图2中的线段上取一动点，过作交于点，作交于点，求证：；

（3）在图3中动点在线段的延长线上，类似（2）过作交的延长线于点，作交的延长线于点，求证：．

如图，已知是等腰三角形，，，点在边上，将绕点逆时针旋转得到，且点、、三点在同一条直线上，则的度数是　 　．

）用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形．图中，　　度．

[问题探究]

（1）如图1，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，连接，．

①请探究与之间的位置关系：　　；

②若，，则线段的长为　　；

[拓展延伸]

（2）如图2，和均为直角三角形，，，，，．将绕点在平面内顺时针旋转，设旋转角为，作直线，连接，当点，，在同一直线上时，画出图形，并求线段的长．

如图，在四边形中，，连接，．若，，，则　．

如图，四边形是正方形，是等腰直角三角形，点在上，且，，垂足为点．

（1）试判断与是否相等？并给出证明；

（2）若点为的中点，与垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．

若二次函数的图象与轴、轴分别交于点、，且过点．

（1）求二次函数表达式；

（2）若点为抛物线上第一象限内的点，且，求点的坐标；

（3）在抛物线上下方）是否存在点，使？若存在，求出点到轴的距离；若不存在，请说明理由．

如图，将 $\odot O$ 沿弦 $\mathit{AB}$ 折叠， $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$ 恰好经过圆心 $O$ ，若 $\odot O$ 的半径为3，则劣 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$ 的长为 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{1}{2}\pi$

B．

$\pi$

C．

$2\pi$

D．

$3\pi$

如图， $\mathit{\Delta ABC}$ 是 $\odot O$ 的内接三角形， $\angle A=119°$ ，过点 $C$ 的圆的切线交 $\mathit{BO}$ 于点 $P$ ，则 $\angle P$ 的度数为 $($ 　　 $)$

A．

$32°$

B．

$31°$

C．

$29°$

D．

$61°$

小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．

（一猜测探究

在中，，是平面内任意一点，将线段绕点按顺时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接．

（1）如图1，若是线段上的任意一点，请直接写出与的数量关系是　　，与的数量关系是　　；

（2）如图2，点是延长线上点，若是内部射线上任意一点，连接，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．

（二拓展应用

如图3，在△中，，，，是上的任意点，连接，将绕点按顺时针方向旋转，得到线段，连接．求线段长度的最小值．

如图1，点、点在直线上，反比例函数的图象经过点．

（1）求和的值；

（2）将线段向右平移个单位长度，得到对应线段，连接、．

①如图2，当时，过作轴于点，交反比例函数图象于点，求的值；

②在线段运动过程中，连接，若是以为腰的等腰三角形，求所有满足条件的的值．