初中数学等腰三角形的性质试题

如图，在中，是边上一点，且．

（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）

①作的角平分线交于点；

②作线段的垂直平分线交于点．

（2）连接，直接写出线段和的数量关系及位置关系．

如图， $\mathit{AB}$ 为 $\odot O$ 的直径，点 $C$ 在 $\odot O$ 上， $\mathit{AD}$ 与过点 $C$ 的切线互相垂直，垂足为 $D$ ．连接 $\mathit{BC}$ 并延长，交 $\mathit{AD}$ 的延长线于点 $E$ ．

（1）求证： $\mathit{AE}=\mathit{AB}$ ；

（2）若 $\mathit{AB}=10$ ， $\mathit{BC}=6$ ，求 $\mathit{CD}$ 的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ．在 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{AC}$ 上分别截取 $\mathit{AP}$ ， $\mathit{AQ}$ ，使 $\mathit{AP}=\mathit{AQ}$ ．再分别以点 $P$ ， $Q$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2}\mathit{PQ}$ 的长为半径作弧，两弧在 $\angle \mathit{BAC}$ 内交于点 $R$ ，作射线 $\mathit{AR}$ ，交 $\mathit{BC}$ 于点 $D$ ．若 $\mathit{BC}=6$ ，则 $\mathit{BD}$ 的长为 $($ 　　 $)$

A．

2

B．

3

C．

4

D．

5

如图，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 均在 $\odot O$ 上，当 $\angle \mathit{OBC}=40°$ 时， $\angle A$ 的度数是 $($ 　　 $)$

A．

$50°$

B．

$55°$

C．

$60°$

D．

$65°$

如图，在中，、是对角线上两点，，，，则的大小为　　．

如图，点，，在上，点在优弧上，若，则的度数为　　．

如图，中，，以为直径的交于点，点为延长线上一点，且．

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求的半径．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$ 的顶点 $A$ ， $B$ ， $C$ 分别落在 $\angle \mathit{MON}$ 的边 $\mathit{OM}$ ， $\mathit{ON}$ 上，若 $\mathit{OA}=\mathit{OC}$ ，要求只用无刻度的直尺作 $\angle \mathit{MON}$ 的平分线．小明的作法如下：连接 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}$ 交于点 $E$ ，作射线 $\mathit{OE}$ ，则射线 $\mathit{OE}$ 平分 $\angle \mathit{MON}$ ．有以下几条几何性质：①矩形的四个角都是直角，②矩形的对角线互相平分，③等腰三角形的"三线合一"．小明的作法依据是 $($ 　　 $)$

A．

①②

B．

①③

C．

②③

D．

①②③

如图，是的直径，点在的延长线上，、是上的两点，，，延长交的延长线于点．

（1）求证：是的切线；

（2）求证：；

（3）若，，求弦的长．

如图，在中，，为边上的点，且，为线段的中点，过点作，过点作，且、相交于点．

（1）求证：；

（2）求证：．

如图所示，在平面直角坐标系 $\mathit{Oxy}$ 中，等腰 $\mathit{\Delta OAB}$ 的边 $\mathit{OB}$ 与反比例函数 $y=\frac{m}{x}(m>0)$ 的图象相交于点 $C$ ，其中 $\mathit{OB}=\mathit{AB}$ ，点 $A$ 在 $x$ 轴的正半轴上，点 $B$ 的坐标为 $(2,4)$ ，过点 $C$ 作 $\mathit{CH}\perp x$ 轴于点 $H$ ．

（1）已知一次函数的图象过点 $O$ ， $B$ ，求该一次函数的表达式；

（2）若点 $P$ 是线段 $\mathit{AB}$ 上的一点，满足 $\mathit{OC}=\sqrt{3}\mathit{AP}$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PQ}\perp x$ 轴于点 $Q$ ，连结 $\mathit{OP}$ ，记 $\mathit{\Delta OPQ}$ 的面积为 $S_{\mathit{\Delta OPQ}}$ ，设 $\mathit{AQ}=t$ ， $T=O{H}^2-S_{\mathit{\Delta OPQ}}$

①用 $t$ 表示 $T$ （不需要写出 $t$ 的取值范围）；

②当 $T$ 取最小值时，求 $m$ 的值．

如图所示，为的直径，点在上，且，过点的弦与线段相交于点，满足，连接，则　　度．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=10$ ， $\tan A=2$ ， $\mathit{BE}\perp \mathit{AC}$ 于点 $E$ ， $D$ 是线段 $\mathit{BE}$ 上的一个动点，则 $\mathit{CD}+\frac{\sqrt{5}}{5}\mathit{BD}$ 的最小值是 $($ 　　 $)$

A．

$2\sqrt{5}$

B．

$4\sqrt{5}$

C．

$5\sqrt{3}$

D．

10

如图，为的直径，且，点是上的一动点（不与，重合），过点作的切线交的延长线于点，点是的中点，连接．

（1）求证：是的切线；

（2）当时，求阴影部分面积．

操作体验：如图，在矩形中，点、分别在边、上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处．点为直线上一动点（不与、重合），过点分别作直线、的垂线，垂足分别为点和，以、为邻边构造平行四边形．

（1）如图1，求证：；

（2）特例感知：如图2，若，，当点在线段上运动时，求平行四边形的周长；

（3）类比探究：若，．

①如图3，当点在线段的延长线上运动时，试用含、的式子表示与之间的数量关系，并证明；

②如图4，当点在线段的延长线上运动时，请直接用含、的式子表示与之间的数量关系．（不要求写证明过程）