初中数学线段垂直平分线的性质试题

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $D$是 $\mathit{AC}$的中点，且 $\mathit{BD}\perp \mathit{AC}$， $\mathit{ED}//\mathit{BC}$， $\mathit{ED}$交 $\mathit{AB}$于点 $E$， $\mathit{BC}=7\mathit{cm}$， $\mathit{AC}=6\mathit{cm}$，则 $\mathit{\Delta AED}$的周长等于　　 $\mathit{cm}$．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中，按以下步骤作图：

①分别以点 $C$和点 $D$为圆心，大于 $\frac{1}{2}\mathit{CD}$的长为半径作弧，两弧相交于 $M$、 $N$两点；

②作直线 $\mathit{MN}$，且 $\mathit{MN}$恰好经过点 $A$，与 $\mathit{CD}$交于点 $E$，连接 $\mathit{BE}$．

则下列说法错误的是 $($　　 $)$

A． $\angle \mathit{ABC}=60°$B． $S_{\mathit{\Delta ABE}}=2S_{\mathit{\Delta ADE}}$

C．若 $\mathit{AB}=4$，则 $\mathit{BE}=4\sqrt{7}$D． $\sin \angle \mathit{CBE}=\frac{\sqrt{21}}{14}$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，

（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）

①作 $\mathit{AC}$的垂直平分线，垂足为 $D$；

②以 $D$为圆心， $\mathit{DA}$长为半径作圆，交 $\mathit{AB}$于 $E(E$异于 $A)$，连接 $\mathit{CE}$；

（2）探究 $\mathit{CE}$与 $\mathit{AB}$的位置关系，并证明你的结论．

平行四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle A=60°$， $\mathit{AB}=2\mathit{AD}$， $\mathit{BD}$的中垂线分别交 $\mathit{AB}$， $\mathit{CD}$于点 $E$， $F$，垂足为 $O$．

（1）求证： $\mathit{OE}=\mathit{OF}$；

（2）若 $\mathit{AD}=6$，求 $\tan \angle \mathit{ABD}$的值．

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AD}$， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$．

（1）在图中，用尺规作线段 $\mathit{BD}$的垂直平分线 $\mathit{EF}$，分别交 $\mathit{BD}$、 $\mathit{BC}$于点 $E$、 $F$．（保留作图痕迹，不写作法）

（2）连接 $\mathit{DF}$，证明四边形 $\mathit{ABFD}$为菱形．

如图，点 $A$在双曲线 $y=\frac{\sqrt{3}}{x}(x>0)$上，过点 $A$作 $\mathit{AC}\perp x$轴，垂足为 $C$， $\mathit{OA}$的垂直平分线交 $\mathit{OC}$于点 $B$，当 $\mathit{AC}=1$时， $\mathit{\Delta ABC}$的周长为　         　．

如图， $C$ ， $E$ 是直线 $l$ 两侧的点，以 $C$ 为圆心， $\mathit{CE}$ 长为半径画弧交 $l$ 于 $A$ ， $B$ 两点，又分别以 $A$ ， $B$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2}\mathit{AB}$ 的长为半径画弧，两弧交于点 $D$ ，连接 $\mathit{CA}$ ， $\mathit{CB}$ ， $\mathit{CD}$ ，下列结论不一定正确的是 $($ 　　 $)$

A．	$\mathit{CD}\perp l$	B．	点 $A$ ， $B$ 关于直线 $\mathit{CD}$ 对称
C．	点 $C$ ， $D$ 关于直线 $l$ 对称	D．	$\mathit{CD}$ 平分 $\angle \mathit{ACB}$

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $D$是 $\mathit{AB}$上一点， $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$于点 $E$， $F$是 $\mathit{AD}$的中点， $\mathit{FG}\perp \mathit{BC}$于点 $G$，与 $\mathit{DE}$交于点 $H$，若 $\mathit{FG}=\mathit{AF}$， $\mathit{AG}$平分 $\angle \mathit{CAB}$，连接 $\mathit{GE}$， $\mathit{GD}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ECG}\cong \mathit{\Delta GHD}$；

（2）小亮同学经过探究发现： $\mathit{AD}=\mathit{AC}+\mathit{EC}$．请你帮助小亮同学证明这一结论．

（3）若 $\angle B=30°$，判定四边形 $\mathit{AEGF}$是否为菱形，并说明理由．

问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于 $30°$，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图1，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\angle \mathit{ABC}=30°$，则： $\mathit{AC}=\frac{1}{2}\mathit{AB}$．

探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究．

（1）如图1，连接 $\mathit{AB}$边上中线 $\mathit{CE}$，由于 $\mathit{CE}=\frac{1}{2}\mathit{AB}$，易得结论：① $\mathit{\Delta ACE}$为等边三角形；② $\mathit{BE}$与 $\mathit{CE}$之间的数量关系为　　．

（2）如图2，点 $D$是边 $\mathit{CB}$上任意一点，连接 $\mathit{AD}$，作等边 $\mathit{\Delta ADE}$，且点 $E$在 $\angle \mathit{ACB}$的内部，连接 $\mathit{BE}$．试探究线段 $\mathit{BE}$与 $\mathit{DE}$之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明．

（3）当点 $D$为边 $\mathit{CB}$延长线上任意一点时，在（2）条件的基础上，线段 $\mathit{BE}$与 $\mathit{DE}$之间存在怎样的数量关系？请直接写出你的结论　　．

拓展应用：如图3，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，点 $A$的坐标为 $(-\sqrt{3}$， $1)$，点 $B$是 $x$轴正半轴上的一动点，以 $\mathit{AB}$为边作等边 $\mathit{\Delta ABC}$，当 $C$点在第一象限内，且 $B(2,0)$时，求 $C$点的坐标．

已知：如图， $\angle \mathit{ABC}$，射线 $\mathit{BC}$上一点 $D$．

求作：等腰 $\mathit{\Delta PBD}$，使线段 $\mathit{BD}$为等腰 $\mathit{\Delta PBD}$的底边，点 $P$在 $\angle \mathit{ABC}$内部，且点 $P$到 $\angle \mathit{ABC}$两边的距离相等．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是平行四边形，点 $E$是边 $\mathit{CD}$上一点，且 $\mathit{BC}=\mathit{EC}$， $\mathit{CF}\perp \mathit{BE}$交 $\mathit{AB}$于点 $F$， $P$是 $\mathit{EB}$延长线上一点，下列结论：

① $\mathit{BE}$平分 $\angle \mathit{CBF}$；② $\mathit{CF}$平分 $\angle \mathit{DCB}$；③ $\mathit{BC}=\mathit{FB}$；④ $\mathit{PF}=\mathit{PC}$．

其中正确结论的个数为 $($　　 $)$

A．1B．2C．3D．4

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，弦 $\mathit{CD}$垂直平分 $\mathit{OB}$，垂足为点 $E$，连接 $\mathit{OD}$、 $\mathit{BC}$，若 $\mathit{BC}=1$，则扇形 $\mathit{OBD}$的面积为　　．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，分别以点 $A$和点 $C$为圆心，以相同的长（大于 $\frac{1}{2}\mathit{AC})$为半径作弧，两弧相交于点 $M$和点 $N$，作直线 $\mathit{MN}$交 $\mathit{AB}$于点 $D$，交 $\mathit{AC}$于点 $E$，连接 $\mathit{CD}$．下列结论错误的是 $($　　 $)$

A． $\mathit{AD}=\mathit{CD}$B． $\angle A=\angle \mathit{DCE}$C． $\angle \mathit{ADE}=\angle \mathit{DCB}$D． $\angle A=2\angle \mathit{DCB}$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle C=90°$，分别以点 $A$、 $B$为圆心，大于 $\frac{1}{2}\mathit{AB}$长为半径作弧，两弧分别交于 $M$、 $N$两点，过 $M$、 $N$两点的直线交 $\mathit{AC}$于点 $E$，若 $\mathit{AC}=6$， $\mathit{BC}=3$，则 $\mathit{CE}$的长为 $($　　 $)$

A． $\frac{9}{4}$B． $\frac{11}{2}$C． $\sqrt{3}$D． $\frac{3}{2}$

如图， $▱\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BD}$相交于点 $O$， $\mathit{EF}$过点 $O$且与 $\mathit{AB}$、 $\mathit{CD}$分别相交于点 $E$、 $F$，连接 $\mathit{EC}$．

（1）求证： $\mathit{OE}=\mathit{OF}$；

（2）若 $\mathit{EF}\perp \mathit{AC}$， $\mathit{\Delta BEC}$的周长是10，求 $▱\mathit{ABCD}$的周长．