2007年全国统一高考理科数学试卷（山东卷）

若 $z=\cos \theta +i\sin \theta$（ $i$为虚数单位），则 $z^2=-1$的 $\theta$值可能是

已知集合 $M=\left\{-1,1\right\}$， $N=\left\{\overline{)x}\frac{1}{2}<2^{x+1}<4,x\in Z\right\}$，则 $M\cap N$=（）

下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是

设 $a=\left\{-1,1,\frac{1}{2},3\right\}$,则使函数 $y=x^{\alpha }$的定义域为 $R$且为奇函数的所有 $\alpha$值为（）

函数 $y=\sin \left(2x+6\right)+\cos \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$的最小正周期和最大值分别为（）

给出下列三个等式： $f\left(xy\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right),f(x+y)=f\left(x\right)f\left(y\right),f(x+y)=\frac{f\left(x\right)+f\left(y\right)}{1-f\left(x\right)f\left(y\right)}$.下列函数中不满足其中任何一个等式的是

命题"对任意的 $x\in R$， $x^3-x^2+1\le 0$"的否定是（）

某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于19秒。右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图。设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为 $x$ ，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为 $y$ ，则从频率分布直方图中可分析出 $x$ 和 $y$ 分别为（ ）

下列各小题中, $p$是 $q$的充要条件的是（）

（1） $p:m<-2$或 $m>6$; $q:y=x^2+mx+m+3$有两个不同的零点.
（2） $p:\frac{f\left(-x\right)}{f\left(x\right)}=1$; $q:y=f\left(x\right)$是偶函数.
（3） $p:cos\alpha =cos\beta$; $q:\tan \alpha =\tan \rho$.

（4） $p:A\cap B=A$; $q:C_{U}B\subseteq C_{U}A$.

阅读右边的程序框图，若输入的 $n$ 是100，则输出的变量 $S$ 和 $T$ 的值依次是

在直角 $△ABC$中， $CD$是斜边 $AB$上的高，则下列等式不成立的是

位于坐标原点的一个质点 $P$按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是 $\frac{1}{2}$.质点 $P$ 移动5次后位于点 $(2,3)$的概率为（）

设 $O$是坐标原点， $F$是抛物线 $y^2=2px(P>0)$的焦点， $A$是抛物线上的一点， $\stackrel{\rightharpoonup }{FA}$与 $x$轴正向的夹角为 $60°$，则 $\left|\stackrel{\rightharpoonup }{OA}\right|$为.

设D是不等式组 $\{\begin{array}{c}x+2y\le 10\\ 2x+y\ge 3\\ 0\le x\le 4,y\ge 1\end{array}$表示的平面区域,则 $D$中的点 $P(x,y)$到直线 $x+y=10$距离的最大值.

与直线 $x+y-2=0$和曲线 $x^2+y^2-12x-12y+54=0$都相切的半径最小的圆的标准方程是.

函数 $y={\log }_a\left(x+3\right)-1\left(a>0,a\ne 1\right)$的图象恒过定点 $A$,若点 $A$在直线 $mx+ny+1=0$上,其中 $mn>0$,则 $\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$的最小值为.

设数列 $\left\{a_n\right\}$满足 $a_1+3a_2+3^2{a}_3+...+3^{n-1}{a}_n=\frac{n}{3},n\in N^{+}$.

(I)求数列 $\left\{a_n\right\}$的通项;&#xa0;&#xa0; (II)设 $b_n=\frac{n}{a_n}$求数列 $\left\{b_n\right\}$的前 $n$项和 $S_n$.

设 $b$和 $c$分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量 $\xi$表示方程 $x^2+bx+c=0$实根的个数(重根按一个计).
(I)求方程 $x^2+bx+c=0$

(II) 求 $\xi$的分布列和数学期望;
(III)求在先后两次出现的点数中有5的条件下,方程 $x^2+bx+c=0$有实根的概率.

如图,在直四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中,已知 $DC=D{D}_1=2AD=2AB$ , $AD\perp DC$ , $AB\parallel DC$ .
(I)设 $E$ 是 $DC$ 的中点,求证: $D_{1}E\parallel \mathrm{平面}{A}_{1}BD$ ;
(II)求二面角 $A_1-BD-C_1$ 的余弦值.

如图,甲船以每小时 $30\sqrt{2}$ 海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于 $A_1$ 处时,乙船位于甲船的北偏西 ${105}^{°}$ 的方向 $B_1$ 处,此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达 $A_2$ 处时,乙船航行到甲船的北偏西 ${120}^{°}$ 方向的 $B_2$ 处,此时两船相距 $10\sqrt{2}$ 海里,问乙船每小时航行多少海里?

已知椭圆 $C$的中心在坐标原点,焦点在 $x$轴上,椭圆 $C$上的点到焦点的距离的最大值为3,最小值为1.
(I)求椭圆 $C$的标准方程;
(II)若直线 $l:y=kx+m$与椭圆C相交于 $A,B$两点( $A,B$不是左右顶点),且以 $AB$为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证:直线 $l$过定点,并求出该定点的坐标.

设函数 $f\left(x\right)=x^2+b\ln (x+1)$,其中 $b\ne 0$.
(I)当 $b>\frac{1}{2}$时,判断函数 $f\left(x\right)$在定义域上的单调性;
(II)求函数 $f\left(x\right)$的极值点;
(III)证明对任意的正整数 $n$,不等式 $\ln (\frac{1}{n}+1)>\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n^3}$都成立.