如图,在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,已知DCDD12

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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如图,在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中,已知 $D C = D D_{1} = 2 A D = 2 A B$ , $A D ⊥ D C$ , $A B ∥ D C$ .
(I)设 $E$ 是 $D C$ 的中点,求证: $D_{1} E ∥ 平面 A_{1} B D$ ;
(II)求二面角 $A_{1} - B D - C_{1}$ 的余弦值.

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在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ： $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．

（1）若P在第一象限，且|OP|= $\sqrt{2}$ ，求P的坐标；

（2）设P $(\frac{8}{5} ， \frac{3}{5})$ ，若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；

（3）若 $|M A| = |M P|$ ，直线AQ与Γ交于另一点C，且 $\overset{⇀}{A Q} = 2 \vec{A C}$ ， $\vec{P Q} = 4 \vec{P M}$ ，求直线AQ的方程．

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根据预测，某地第n（n∈N ^*）个月共享单车的投放量和损失量分别为 $a_{n}$ 和 _{$b_{n}$}（单位：辆），其中 $a_{n} = {\begin{matrix} 5 n^{4} + 15 ，_{} 1 \leq n \leq 3 \\ - 10 n + 470 ，_{} n \geq 4 \end{matrix}$ ， $b_{n} = n + 5$ ，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差．

（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；

（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量 $S_{n} = - 4 {(n - 46)}^{2} + 8800$ （单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？

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（1）求 $f (x)$ 的单调递增区间；

（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边 $a = \sqrt{19}$ ，角B所对边b=5，若 $f (A) = 0$ ，求△ABC的面积．

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如图，直三棱柱ABC﹣A ₁B ₁C ₁的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱 $A A_{1}$ 的长为5．

（1）求三棱柱ABC﹣A ₁B ₁C ₁的体积；

（2）设M是BC中点，求直线A ₁M与平面ABC所成角的大小．

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设 $\{a_{n}\}$ 是首项为 $a_{1}$ ，公差为 $d$ 的等差数列， ${{b}_{n}}$ 是首项 $b_{1}$ ，公比为q的等比数列

（1）设 $a_{1} =0 ， b_{1} =1,q=2 ，$ 若 $| a_{n} {-b}_{n} | \leq b_{1}$ 对n=1,2,3,4均成立，求d的取值范围

（2）若 $a_{1} {=b}_{1} > 0$ ， $m \in N^{*}$ ， $q \in (1, \sqrt[m]{2}]$ 证明：存在 $d \in R$ ，使得 $| a_{n} {-b}_{n} | \leq b_{1}$ 对n=2，3，…， $m+ 1$ 均成立，并求 $d$ 的取值范围（用 $b_{1}$ $， m ， q$ 表示）。

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