2010年高考试题分项版文科数学之专题十三 导数

设定函数 $f\left(x\right)=\frac{a}{3}{x}^3+b{x}^2+cx+d(a>0)$，且方程 $f`\left(x\right)-9x=0$的两个根分别为1，4。
（Ⅰ）当 $a=3$且曲线 $y=f\left(x\right)$过原点时，求 $f\left(x\right)$的解析式；
（Ⅱ）若 $f\left(x\right)$在 $(-\infty ,+\infty )$无极值点，求 $a$的取值范围。

已知函数 $f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^2+ax+b$的图像在点 $P(0,f(0\left)\right)$处的切线方程为 $y=3x-2$.
（Ⅰ）求实数 $a,b$的值；
（Ⅱ）设 $y^2=4x(-2{)}^2=2px,x=-1,g(x)=f(x)+\frac{m}{x-1}$是 $[2,+\infty )$上的增函数.
（ⅰ）求实数 $m$的最大值；
（ⅱ）当 $m$取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线能与曲线 $y=g\left(x\right)$围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.

已知函数 $f\left(x\right)={\left(x-a\right)}^2\left(a-b\right)\left(a,b\in R,a<b\right)$。
（I）当 $a=1,b=2$时，求曲线 $y=f\left(x\right)$在点 $\left(2,f\left(x\right)\right)$处的切线方程。
（II）设 $x_1,x_2$是 $f\left(x\right)$的两个极值点， $x_3$是 $f\left(x\right)$的一个零点，且 $x_3\ne x_1,x_3\ne x_2$,证明：存在实数 $x_4$，使得 $x_1,x_2,x_3,x_4$按某种顺序排列后的等差数列，并求 $x_4$.

已知函数 $f\left(x\right)=a{x}^3-\frac{3}{2}{x}^2+1\left(x\in R\right)$，其中 $a>0$

（Ⅰ）若 $a=1$，求曲线 $y=f\left(x\right)$在点 $\left(2,f\left(2\right)\right)$处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间 $\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$上， $f\left(x\right)>0$恒成立，求 $a$的取值范围.

曲线 $y=x^2-2x+1$在点（1,0）处的切线方程为

设函数 $f\left(x\right)=x(e^x-1)-a{x}^2$

（Ⅰ）若 $a=\frac{1}{2}$，求 $f\left(x\right)$的单调区间；
（Ⅱ）若当 $x\ge 0$时 $f\left(x\right)\ge 0$，求 $a$的取值范围

设函数 $f\left(x\right)=\sin x-\cos x+x+1,0<x<2\pi$，求函数 $f\left(x\right)$的单调区间与极值。

若曲线 $y=x^2+ax+b$在点 $(0,b)$处的切线方程是 $x-y+1=0$，则

已知函数 $f\left(x\right)=x^3-3a{x}^2+3x+1$.

（Ⅰ）设 $a=2$，求 $f\left(x\right)$的单调期间；
（Ⅱ）设 $f\left(x\right)$在区间 $(2,3)$中至少有一个极值点，求 $a$的取值范围.

已知点 $p$在曲线 $y=\frac{4}{e^x+1}$上， $\alpha$为曲线在点 $p$处的切线的倾斜角，则 $\alpha$的取值范围是

已知函数 $f\left(x\right)=\left(a+1\right)\ln x+a{x}^2+1$.
（Ⅰ）讨论函数 $f\left(x\right)$的单调性；
（Ⅱ）设 $a\le -2$，证明：对任意 $x_1,x_2\in \left(0,+\infty \right)$， $\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right|\ge 4\left|x_1-x_2\right|$。

已知函数 $f\left(x\right)=\frac{a}{x}+x+\left(a-1\right)\ln x+15a$其中 $a<0$,且 $a\ne -1$.
（Ⅰ）讨论函数 $f\left(x\right)$的单调性；
（Ⅱ）设函数 $g\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\left(-2x^5+3a{x}^3+6ax-4a^2-15a\right)e^x,x\le 1\\ ef\left(x\right),x>1\end{array}\right.$（ $e$是自然数的底数）。是否存在 $a$，使 $g\left(x\right)$在 $\left[-a,a\right]$上为减函数？若存在，求 $a$的取值范围；若不存在，请说明理由。

已知函数 $f\left(x\right)=a{x}^3+x^2+bx$(其中常数 $a,b\in R$), $g\left(x\right)=f\left(x\right)+f^{`}\left(x\right)$是奇函数.
(Ⅰ)求 $f\left(x\right)$的表达式;
(Ⅱ)讨论 $g\left(x\right)$的单调性，并求 $g\left(x\right)$在区间[1,2]上的最大值和最小值.

已知抛物线 $y^2=2px(p>0)$，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与 $A,B$两点，若线段 $AB$的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(   )

设函数 $f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{a}{2}{x}^2+bx+c$，其中 $a>0$，曲线 $y=f\left(x\right)$在点 $P(0,f(0\left)\right)$处的切线方程为 $y=1$.

（Ⅰ）确定 $b,c$的值.
（Ⅱ）设曲线 $y=f\left(x\right)$在点（ $(x_1,f(x_1\left)\right)$）及（ $(x_2,f(x_2\left)\right)$）处的切线都过点（0,2）证明：当 $x_1\ne x_2$时， $f\left(x_1\right)\ne f\left(x_2\right)$.

（Ⅲ）若过点（0,2）可作曲线 $y=f\left(x\right)$的三条不同切线，求 $a$的取值范围.

若 $f\left(x\right)=a{x}^4+b{x}^2+c$满足 $f`（1)=2$，则 $f`(-1)=$(    )

设函数 $f\left(x\right)=6x^3+3(a+2)x^2+2ax$.

（1）若 $f\left(x\right)$的两个极值点为 $x_1,x_2$，且 $x_1{x}_2=1$，求实数 $a$的值；
（2）是否存在实数，使得 $f\left(x\right)$是 $(-\infty ,+\infty )$上的单调函数？若存在,求出 $a$的值；若不存在，说明理由.

已知函数 $f\left(x\right)=3a{x}^4-2\left(3a+1\right)x^3-2\left(3a+1\right)x^2+4x$．
（Ⅰ）当 $a=\frac{1}{6}$时，求 $f\left(x\right)$的极值；
（Ⅱ）若 $f\left(x\right)$在 $\left(-1,1\right)$上是增函数，求 $a$的取值范围．

已知函数 $f\left(x\right)=\sqrt{x},g\left(x\right)=a\ln x,a\in R$.
（Ⅰ）若曲线 $y=f\left(x\right)$与曲线 $y=g\left(x\right)$相交，且在交点处有相同的切线，求 $a$的值及该切线的方程；
（Ⅱ）设函数 $k\left(x\right)=f\left(x\right)-g\left(x\right)$,当 $k\left(x\right)$存在最小值时，求其最小值 $\phi \left(a\right)$的解析式；
（Ⅲ）对（Ⅱ）中的 $\phi \left(a\right)$，证明：当 $a\in (0,+\infty )$时， $\phi \left(a\right)\le 1$.

观察，,，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记的导函数，则

A．

B．

C．

D．