已知函数 f ( x ) = 1 3 x 2 + a x + b 的图像在点 P ( 0 , f ( 0 ) ) 处的切线方程为 y = 3 x - 2 . (Ⅰ)求实数 a , b 的值; (Ⅱ)设 y 2 = 4 x ( - 2 ) 2 = 2 p x , x = - 1 , g ( x ) = f ( x ) + m x - 1 是 [ 2 , + ∞ ) 上的增函数. (ⅰ)求实数 m 的最大值; (ⅱ)当 m 取最大值时,是否存在点Q,使得过点Q的直线能与曲线 y = g ( x ) 围成两个封闭图形,则这两个封闭图形的面积总相等?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.
(本小题12分)已知函数,. (1)若,曲线在点处的切线与轴垂直,求的值; (2)在(1)的条件下,求证:
(本小题12分)己知、、是椭圆:()上的三点,其中点的坐标为,过椭圆的中心,且,。 (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)过点的直线(斜率存在时)与椭圆交于两点,,设为椭圆与轴负半轴的交点,且,求实数的取值范围.
(本小题12分)如图,在四棱锥中,底面是正方形,侧棱,是的中点. (Ⅰ)证明; (Ⅱ)求三棱锥A-BDP的体积.
(本小题12分)根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定:居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米,PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.某城市环保部门随机抽取了一居民区去年20天PM2.5的24小时平均浓度的监测数据,数据统计如下: ]
(Ⅰ)从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的5天中,随机抽取2天,求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率; (Ⅱ)求样本平均数,并根据样本估计总体的思想,从PM2.5的年平均浓度考虑,判断该居民区的环境是否需要改进?说明理由.
(本小题10分)已知=(cos+sin,-sin),=(cos-sin,2cos). (1)设f(x)=,求f(x)的最小正周期和单调递减区间; (2)设有不相等的两个实数x1,x2∈,且f(x1)=f(x2)=1,求x1+x2的值.