全国重点高中提前招生真题过关（十三）

如图， $△\mathit{ABC}$中， $D,E$是 $\mathit{BC}$边上的点， $\mathit{BD}:\mathit{DE}:\mathit{EC}=3:2:1,M$在 $\mathit{AC}$边上， $\mathit{CM}:\mathit{MA}=1:2,\mathit{BM}$交 $\mathit{AD},\mathit{AE}$于点 $H,G$，则 $\mathit{BH}:\mathit{HG}:\mathit{GM}$等于（ ）

如图， $△\mathit{ABC}$中， $\mathit{BD}\perp \mathit{AB},\mathit{AD}=\frac{4}{7}\mathit{AC},\mathit{AB}=2,\angle \mathit{ABC}={150}^{\circ }$，则 $△\mathit{DBC}$的面积是（ ）

如图，在 $△\mathit{ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC},\angle A={36}^{\circ },\mathit{BD}$平分 $\angle \mathit{ABC},\mathit{DE}//\mathit{BC}$，则图中与 $△\mathit{ABC}$相似的三角形（不包括 $△\mathit{ABC}$）的个数有（ ）

如图，在 $△\mathit{ABC}$中， $M$是边 $\mathit{AB}$的中点， $N$是边 $\mathit{AC}$上的点，且 $\frac{\mathit{AN}}{\mathit{NC}}=2,\mathit{CM}$与 $\mathit{BN}$相交于点 $K$.若 $△\mathit{BCK}$的面积等于 $1$，则 $△\mathit{ABC}$的面积等于（ ）

如图，设 $O$是四边形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC},\mathit{BD}$的交点.若 $\angle \mathit{BAD}+\mathit{ACB}={180}^{\circ }$，且 $\mathit{BC}=3,\mathit{AD}=4,\mathit{AC}=5,\mathit{AB}=6$，则 $\frac{\mathit{DO}}{\mathit{OB}}=$（ ）

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$中， $E,F$分别是 $\mathit{AB},\mathit{BC}$上的点， $\mathit{DE}$交 $\mathit{AC}$于点 $M,\mathit{AF}$交 $\mathit{BD}$于点 $N$，若 $\mathit{AF}$平分 $\angle \mathit{BAC},\mathit{DE}\perp \mathit{AF}$.记 $x=\frac{\mathit{BN}}{\mathit{ON}}$， $y=\frac{\mathit{CF}}{\mathit{BF}},z=\frac{\mathit{BE}}{\mathit{OM}}$，则有（ ）

如图， $\mathit{ABCD}$是平行四边形， $E$为 $\mathit{CD}$的中点， $\mathit{AE}$和 $\mathit{BD}$的交点为 $F,\mathit{AC}$和 $\mathit{BE}$的交点为 $H,\mathit{AC}$和 $\mathit{BD}$的交点为 $G$，四边形 $\mathit{EHGF}$的面积是 $15{\text{cm}}^2$，则 $\mathit{ABCD}$的面积是 （ ）

如图所示，已知 $△\mathit{ABC}$中， $\mathit{AE}:\mathit{BE}=1:3,\mathit{BD}$: $\mathit{DC}=3:2,\mathit{AD}$与 $\mathit{CE}$相交于点 $F$，则 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{FC}}+\frac{\mathit{AF}}{\mathit{FD}}$的值为（ ）

如图， $\mathit{BE}$是 $△\mathit{ABC}$的中线，点 $F$在 $\mathit{BE}$上，延长 $\mathit{AF}$交 $\mathit{BC}$于点 $D$.若 $\mathit{BF}=3\mathit{FE}$，则 $\frac{\mathit{BD}}{\mathit{DC}}=$＿＿＿＿＿.

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{BAD}={120}^{\circ },\mathit{DE}\perp \mathit{BC}$交 $\mathit{BC}$的延长线于点 $E$.连接 $\mathit{AE}$交 $\mathit{BD}$于点 $F$，交 $\mathit{CD}$于点 $G.\mathit{FH}\perp \mathit{CD}$于点 $H$，连接 $\mathit{CF}$.有下列结论:① $\mathit{AF}=\mathit{CF}$；② $A{F}^2=\mathit{EF}\cdot \mathit{FG}$；③ $\mathit{FG}:\mathit{EG}=4:5$；④ $\text{cos}\angle \mathit{GFH}=\frac{3\sqrt{21}}{14}$.

其中所有正确结论的序号为＿＿＿＿＿.

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=1$，连接 $\mathit{AC},\angle \mathit{ACD}$的平分线交 $\mathit{AD}$于点 $E$，在 $\mathit{AB}$上截取 $\mathit{AF}=\mathit{DE}$，连接 $\mathit{DF}$，分别交 $\mathit{CE},\mathit{CA}$于点 $G,H$，点 $P$是线段 $\mathit{GC}$上的动点， $\mathit{PQ}\perp \mathit{AC}$于点 $Q$，连接 $\mathit{PH}$.下列结论:① $\mathit{CE}\perp \mathit{DF}$；② $\mathit{DE}+\mathit{DC}=\mathit{AC}$；③ $\mathit{EA}=\sqrt{3}\mathit{AH}$；④ $\mathit{PH}+\mathit{PQ}$的最小值是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$.其中正确结论的序号是＿＿＿＿＿.

如图所示，在正方形 $\mathit{ABCD}$中， $E$为 $\mathit{AB}$的中点， $\mathit{AF}\perp \mathit{DE}$于点 $O$，则 $\frac{\mathit{AO}}{\mathit{DO}}$等于＿＿＿＿＿.

如图，在 $△\mathit{ABC}$和 $△\mathit{DEC}$中， $\angle A=\angle D,\angle \mathit{BCE}=\angle \mathit{ACD}$.若 $S_{△\mathit{ABC}}$: $\mathrm{}{S}_{△\mathit{DEC}}=4:9,\mathit{BC}=6$，则 $\mathit{EC}$的长为＿＿＿＿＿.

如图，已知 $△\mathit{ABC}$中， $D$为 $\mathit{AB}$边的中点， $G$为线段 $\mathit{CD}$上一点，且 $\mathit{CG}:\mathit{GD}=2:1$，过点 $G$的直线分别交 $\mathit{AC},\mathit{BC}$于点 $P,Q$，设 $\frac{\mathit{CP}}{\mathit{CA}}=a,\frac{\mathit{CQ}}{\mathit{CB}}=b$，则 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的值为＿＿＿＿＿.

如图，边长为 $1$的正方形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$为 $\mathit{AD}$的中点.连接 $\mathit{BE}$，将 $△\mathit{ABE}$沿 $\mathit{BE}$折叠得到 $△\mathit{FBE},\mathit{BF}$交 $\mathit{AC}$于点 $G$，则 $\mathit{CG}$的长为＿＿＿＿＿.

如图， $△\mathit{ABC}$的面积为 $24,\mathit{AD}$是 $\mathit{BC}$边上的中线， $E$在 $\mathit{AD}$上，且 $\mathit{AE}:\mathit{ED}=1:2,\mathit{BE}$的延长线交 $\mathit{AC}$于点 $F$.则 $△\mathit{AEF}$的面积为＿＿＿＿＿.

如图所示，点 $E$是正方形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{BC}$延长线上一点，连接 $\mathit{DE}$，过顶点 $B$作 $\mathit{BF}\perp \mathit{DE}$，垂足为 $F,\mathit{BF}$交边 $\mathit{DC}$于点 $G$.

（1）求证: $\mathit{GD}\cdot \mathit{AB}=\mathit{DF}\cdot \mathit{BG};$

（2）连接 $\mathit{CF}$，求证: $\angle \mathit{CFB}={45}^{\circ }$.

如图，在凸四边形 $\mathit{ABCD}$中，已知 $\angle \mathit{ABC}+\angle \mathit{CDA}={300}^{\circ },\mathit{AB}\cdot \mathit{CD}=\mathit{BC}\cdot \mathit{AD}$.求证: $\mathit{AB}\cdot \mathit{CD}=\mathit{AC}\cdot \mathit{BD}$.

如图，等边 $△\mathit{ABC}$中， $D,E$分别在 $\mathit{BC},\mathit{AC}$上，且 $\mathit{BD}=\mathit{CE},\mathit{AD},\mathit{BE}$交于点 $F,\mathit{EG}//\mathit{CF}$交于点 $G$，求证: $\mathit{BF}=\mathit{DG}$.

如图，在 $△\mathit{ABC}$中， $\mathit{BAC}={90}^{\circ },\mathit{AD}\perp \mathit{BC}$于点 $D$，点 $E$为直角边 $\mathit{AC}$的中点，过点 $D,E$作直线交 $\mathit{AB}$的延长线于点 $F$.求证: $\mathrm{}\frac{\mathit{AB}}{\mathit{AC}}=\frac{\mathit{DF}}{\mathit{AF}}$.

如图， $\mathit{BD},\mathit{CE}$分别是 $△\mathit{ABC}$的两边上的高，过 $D$作 $\mathit{DG}\perp \mathit{BC}$于点 $G$，分别交 $\mathit{CE}$及 $\mathit{BA}$的延长线于点 $F,H$.求证:

（1） $D{G}^2=\mathit{BG}\cdot \mathit{CG}$；

（2） $\mathit{BG}\cdot \mathit{CG}=\mathit{GF}\cdot \mathit{GH}$.

如图，四边形 $\mathit{ABCD},\mathit{DEFG}$都是正方形，连接 $\mathit{AE},\mathit{CG},\mathit{AE}$与 $\mathit{CG}$相交于点 $M,\mathit{CG}$与 $\mathit{AD}$相交于点 $N$.求证:

（1） $\mathit{AE}=\mathit{CG};$

（2） $\mathit{AN}\cdot \mathit{DN}=\mathit{CN}\cdot \mathit{MN}$.

点 $P$到图形 $Q$（可以是线段、三角形、圆或不规则图形等）的距离是指点 $P$与图形 $Q$中所有点连接的线段中最短线段的长度.如图①中的两个虚线段 $\mathit{PQ}$的长度都表示点 $P$到图形 $Q$的距离.

如图②，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中， $△\mathit{ABC}$的三个顶点坐标分别为 $A\left(2,1\right),B\left(0,3\right),C\left(6,3\right)$，点 $P$从原点出发，以每秒 $1$个单位长度的速度向 $x$轴的正方向运动了 $t\text{s}$.

（1）当 $t=0$时，求点 $P$到 $△\mathit{ABC}$的距离；

（2）当点 $P$到 $△\mathit{ABC}$的距离等于线段 $\mathit{AP}$的长度时，求 $t$的取值范围；

（3）当点 $P$到 $△\mathit{ABC}$的距离大于 $\sqrt{5}$时，求 $t$的取值范围.