2022年中考数学专题：四边形（一）

如图所示，四边形 $\mathit{ABCD}$ 是平行四边形，点 $E$ 在线段 $\mathit{BC}$ 的延长线上，若 $\angle \mathit{DCE}=132°$ ，则 $\angle A=($ 　　 $)$

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AD}=3$ ， $\mathit{CD}=2$ ．连接 $\mathit{AC}$ ，过点 $B$ 作 $\mathit{BE}//\mathit{AC}$ ，交 $\mathit{DC}$ 的延长线于点 $E$ ，连接 $\mathit{AE}$ ，交 $\mathit{BC}$ 于点 $F$ ．若 $\angle \mathit{AFC}=2\angle D$ ，则四边形 $\mathit{ABEC}$ 的面积为 $($ 　　 $)$

一个多边形的内角和为 $1800°$ ，则这个多边形的边数为 $($ 　　 $)$

如图，在边长为2的正方形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AE}$ 是以 $\mathit{BC}$ 为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为 $($ 　　 $)$

如图， $\mathit{\Delta ABC}$ 是边长为1的等边三角形， $D$ 、 $E$ 为线段 $\mathit{AC}$ 上两动点，且 $\angle \mathit{DBE}=30°$ ，过点 $D$ 、 $E$ 分别作 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{BC}$ 的平行线相交于点 $F$ ，分别交 $\mathit{BC}$ 、 $\mathit{AB}$ 于点 $H$ 、 $G$ ．现有以下结论： $S_{\mathit{\Delta ABC}}=\frac{\sqrt{3}}{4}$ ；②当点 $D$ 与点 $C$ 重合时， $\mathit{FH}=\frac{1}{2}$ ；③ $\mathit{AE}+\mathit{CD}=\sqrt{3}\mathit{DE}$ ；④当 $\mathit{AE}=\mathit{CD}$ 时，四边形 $\mathit{BHFG}$ 为菱形，其中正确结论为 $($ 　　 $)$

正多边形的一个外角等于 $60°$ ，这个多边形的边数是 $($ 　　 $)$

如图1， $▱\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AD}>\mathit{AB}$ ， $\angle \mathit{ABC}$ 为锐角．要在对角线 $\mathit{BD}$ 上找点 $N$ ， $M$ ，使四边形 $\mathit{ANCM}$ 为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案 $($ 　　 $)$

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$ 的对角线交于点 $O$ ．已知 $\mathit{AB}=m$ ， $\angle \mathit{BAC}=\angle \alpha$ ，则下列结论错误的是 $($ 　　 $)$

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$ 中， $E$ ， $F$ 是对角线 $\mathit{AC}$ 上的两点，且 $\mathit{EF}=2\mathit{AE}=2\mathit{CF}$ ，连接 $\mathit{DE}$ 并延长交 $\mathit{AB}$ 于点 $M$ ，连接 $\mathit{DF}$ 并延长交 $\mathit{BC}$ 于点 $N$ ，连接 $\mathit{MN}$ ，则 $\frac{S_{\mathit{\Delta AMD}}}{S_{\mathit{\Delta MBN}}}=($ 　　 $)$

如图， $F$ 是线段 $\mathit{CD}$ 上除端点外的一点，将 $\mathit{\Delta ADF}$ 绕正方形 $\mathit{ABCD}$ 的顶点 $A$ 顺时针旋转 $90°$ ，得到 $\mathit{\Delta ABE}$ ．连接 $\mathit{EF}$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $H$ ．下列结论正确的是 $($ 　　 $)$

如图， $\mathit{BD}$ 是正方形 $\mathit{ABCD}$ 的一条对角线， $E$ 是 $\mathit{BD}$ 上一点， $F$ 是 $\mathit{CB}$ 延长线上一点，连接 $\mathit{CE}$ ， $\mathit{EF}$ ， $\mathit{AF}$ ．若 $\mathit{DE}=\mathit{DC}$ ， $\mathit{EF}=\mathit{EC}$ ，则 $\angle \mathit{BAF}$ 的度数为 　　．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为2，分别以 $B$， $C$为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点 $P$，那么图中阴影部分的面积为 　　．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$ 中，对角线 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ， $\mathit{BD}=8$ ， $\mathit{AC}=6$ ， $\mathit{OE}//\mathit{AB}$ ，交 $\mathit{BC}$ 于点 $E$ ，则 $\mathit{OE}$ 的长为 　　．

如图．在边长为6的正方形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$， $F$分别在 $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$上， $\mathit{BC}=3\mathit{BE}$且 $\mathit{BE}=\mathit{CF}$， $\mathit{AE}\perp \mathit{BF}$，垂足为 $G$， $O$是对角线 $\mathit{BD}$的中点，连接 $\mathit{OG}$、则 $\mathit{OG}$的长为 　　．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$ 中，对角线 $\mathit{BD}=8\mathit{cm}$ ， $\mathit{AE}\perp \mathit{BD}$ ，垂足为 $E$ ，且 $\mathit{AE}=3\mathit{cm}$ ， $\mathit{BC}=4\mathit{cm}$ ，则 $\mathit{AD}$ 与 $\mathit{BC}$ 之间的距离为 　　．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=3$ ， $\mathit{AD}=4$ ， $E$ 、 $F$ 分别是边 $\mathit{BC}$ 、 $\mathit{CD}$ 上一点， $\mathit{EF}\perp \mathit{AE}$ ，将 $\mathit{\Delta ECF}$ 沿 $\mathit{EF}$ 翻折得△ $\mathit{EC}\text{'}F$ ，连接 $\mathit{AC}\text{'}$ ，当 $\mathit{BE}=$ 　　时， $\mathit{\Delta AEC}\text{'}$ 是以 $\mathit{AE}$ 为腰的等腰三角形．

如图，已知正方形 $\mathit{ABCD}$ 边长为1， $E$ 为 $\mathit{AB}$ 边上一点，以点 $D$ 为中心，将 $\mathit{\Delta DAE}$ 按逆时针方向旋转得 $\mathit{\Delta DCF}$ ，连接 $\mathit{EF}$ ，分别交 $\mathit{BD}$ ， $\mathit{CD}$ 于点 $M$ ， $N$ ．若 $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{DN}}=\frac{2}{5}$ ，则 $\sin \angle \mathit{EDM}=$ 　　．

如图，在边长为4的正方形 $\mathit{ABCD}$中，以 $\mathit{AB}$为直径的半圆交对角线 $\mathit{AC}$于点 $E$，以 $C$为圆心、 $\mathit{BC}$长为半径画弧交 $\mathit{AC}$于点 $F$，则图中阴影部分的面积是 　　．

如图，在平面直角坐标系中，正方形 $\mathit{ABCD}$ 的顶点 $A$ 在 $x$ 轴正半轴上，顶点 $B$ ， $C$ 在第一象限，顶点 $D$ 的坐标 $(\frac{5}{2}$ ， $2)$ ．反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ （常数 $k>0$ ， $x>0)$ 的图象恰好经过正方形 $\mathit{ABCD}$ 的两个顶点，则 $k$ 的值是 　　．

正九边形一个内角的度数为 　　．

已知：如图，矩形 $\mathit{ABCD}$ 的对角线 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ， $\angle \mathit{BOC}=120°$ ， $\mathit{AB}=2$ ．

（1）求矩形对角线的长；

（2）过 $O$ 作 $\mathit{OE}\perp \mathit{AD}$ 于点 $E$ ，连结 $\mathit{BE}$ ．记 $\angle \mathit{ABE}=\alpha$ ，求 $\tan \alpha$ 的值．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$ 中，对角线 $\mathit{AC}$ 、 $\mathit{BD}$ 相交于点 $M$ ， $\odot O$ 经过点 $B$ ， $C$ ，交对角线 $\mathit{BD}$ 于点 $E$ ，且 $\stackrel{̂}{\mathit{CE}}=\stackrel{̂}{\mathit{BE}}$ ，连接 $\mathit{OE}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $F$ ．

（1）试判断 $\mathit{AB}$ 与 $\odot O$ 的位置关系，并说明理由；

（2）若 $\mathit{BD}=\frac{32}{5}\sqrt{5}$ ， $\tan \angle \mathit{CBD}=\frac{1}{2}$ ，求 $\odot O$ 的半径．

已知 $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的任意一条直径．

（1）用图1，求证： $\odot O$ 是以直径 $\mathit{AB}$ 所在直线为对称轴的轴对称图形；

（2）已知 $\odot O$ 的面积为 $4\pi$ ，直线 $\mathit{CD}$ 与 $\odot O$ 相切于点 $C$ ，过点 $B$ 作 $\mathit{BD}\perp \mathit{CD}$ ，垂足为 $D$ ，如图2．

求证：① $\frac{1}{2}B{C}^2=2\mathit{BD}$ ；

②改变图2中切点 $C$ 的位置，使得线段 $\mathit{OD}\perp \mathit{BC}$ 时， $\mathit{OD}=2\sqrt{2}$ ．

【推理】

如图1，在正方形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $E$ 是 $\mathit{CD}$ 上一动点，将正方形沿着 $\mathit{BE}$ 折叠，点 $C$ 落在点 $F$ 处，连结 $\mathit{BE}$ ， $\mathit{CF}$ ，延长 $\mathit{CF}$ 交 $\mathit{AD}$ 于点 $G$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta BCE}\cong \mathit{\Delta CDG}$ ．

【运用】

（2）如图2，在【推理】条件下，延长 $\mathit{BF}$ 交 $\mathit{AD}$ 于点 $H$ ．若 $\frac{\mathit{HD}}{\mathit{HF}}=\frac{4}{5}$ ， $\mathit{CE}=9$ ，求线段 $\mathit{DE}$ 的长．

【拓展】

（3）将正方形改成矩形，同样沿着 $\mathit{BE}$ 折叠，连结 $\mathit{CF}$ ，延长 $\mathit{CF}$ ， $\mathit{BF}$ 交直线 $\mathit{AD}$ 于 $G$ ， $H$ 两点，若 $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{BC}}=k$ ， $\frac{\mathit{HD}}{\mathit{HF}}=\frac{4}{5}$ ，求 $\frac{\mathit{DE}}{\mathit{EC}}$ 的值（用含 $k$ 的代数式表示）．

在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ， $D$ 是边 $\mathit{BC}$ 上一动点，连接 $\mathit{AD}$ ，将 $\mathit{AD}$ 绕点 $A$ 逆时针旋转至 $\mathit{AE}$ 的位置，使得 $\angle \mathit{DAE}+\angle \mathit{BAC}=180°$ ．

（1）如图1，当 $\angle \mathit{BAC}=90°$ 时，连接 $\mathit{BE}$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $F$ ．若 $\mathit{BE}$ 平分 $\angle \mathit{ABC}$ ， $\mathit{BD}=2$ ，求 $\mathit{AF}$ 的长；

（2）如图2，连接 $\mathit{BE}$ ，取 $\mathit{BE}$ 的中点 $G$ ，连接 $\mathit{AG}$ ．猜想 $\mathit{AG}$ 与 $\mathit{CD}$ 存在的数量关系，并证明你的猜想；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接 $\mathit{DG}$ ， $\mathit{CE}$ ．若 $\angle \mathit{BAC}=120°$ ，当 $\mathit{BD}>\mathit{CD}$ ， $\angle \mathit{AEC}=150°$ 时，请直接写出 $\frac{\mathit{BD}-\mathit{DG}}{\mathit{CE}}$ 的值．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，点 $M$在 $\mathit{DC}$上， $\mathit{AM}=\mathit{AB}$，且 $\mathit{BN}\perp \mathit{AM}$，垂足为 $N$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABN}\cong \mathit{\Delta MAD}$；

（2）若 $\mathit{AD}=2$， $\mathit{AN}=4$，求四边形 $\mathit{BCMN}$的面积．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°$，点 $E$在 $\mathit{BC}$边上，过 $A$， $C$， $E$三点的 $\odot O$交 $\mathit{AB}$边于另一点 $F$，且 $F$是 $\stackrel{̂}{\mathit{AE}}$的中点， $\mathit{AD}$是 $\odot O$的一条直径，连接 $\mathit{DE}$并延长交 $\mathit{AB}$边于 $M$点．

（1）求证：四边形 $\mathit{CDMF}$为平行四边形；

（2）当 $\mathit{CD}=\frac{2}{5}\mathit{AB}$时，求 $\sin \angle \mathit{ACF}$的值．

如图， $\mathit{BD}$为 $▱\mathit{ABCD}$的对角线．

（1）作对角线 $\mathit{BD}$的垂直平分线，分别交 $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{BD}$于点 $E$， $F$， $O$（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

（2）连接 $\mathit{BE}$， $\mathit{DF}$，求证：四边形 $\mathit{BEDF}$为菱形．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中，点 $P$ 为斜边 $\mathit{BC}$ 上一动点，将 $\mathit{\Delta ABP}$ 沿直线 $\mathit{AP}$ 折叠，使得点 $B$ 的对应点为 $B\text{'}$ ，连接 $\mathit{AB}\text{'}$ ， $\mathit{CB}\text{'}$ ， $\mathit{BB}\text{'}$ ， $\mathit{PB}\text{'}$ ．

（1）如图①，若 $\mathit{PB}\text{'}\perp \mathit{AC}$ ，证明： $\mathit{PB}\text{'}=\mathit{AB}\text{'}$ ．

（2）如图②，若 $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ， $\mathit{BP}=3\mathit{PC}$ ，求 $\cos \angle B\text{'}\mathit{AC}$ 的值．

（3）如图③，若 $\angle \mathit{ACB}=30°$ ，是否存在点 $P$ ，使得 $\mathit{AB}=\mathit{CB}\text{'}$ ．若存在，求此时 $\frac{\mathit{PC}}{\mathit{BC}}$ 的值；若不存在，请说明理由．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $M$ 、 $N$ 分别在 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{CB}$ 上，且 $\angle \mathit{ADM}=\angle \mathit{CDN}$ ，求证： $\mathit{BM}=\mathit{BN}$ ．