2019年全国统一高考理科数学试卷（新课标Ⅰ）

已知集合 $M=\left\{x\overline{)-4<x<2}\right\},N=\left\{x\overline{)x^2}-x-6<0\right\}$ ，则 $M\cap N$ =（ ）

设复数 z满足 $\left|z-i\right|=1$ ， z在复平面内对应的点为( x， y)，则（ ）

已知 $a=\mathit{log}{}_{2}0.2,b=2^{0.2},c=0.2^{0.3}$ ，则（ ）

古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ （ $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ ≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的"断臂维纳斯"便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ ．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是（ ）

函数 f( x)= $\frac{\mathit{sin}x+x}{\mathit{cos}x+x^2}$ 在[-π，π]的图像大致为（ ）

我国古代典籍《周易》用"卦"描述万物的变化．每一"重卦"由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻"--"和阴爻"- -"，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（ ）

已知非零向量 $\vec{a}，\vec{b}$ 满足 $\left|\vec{a}\right|=2\left|\vec{b}\right|$ ，且 $（\vec{a}–\vec{b}）\perp \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（ ）

如图是求 $\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}$ 的程序框图，图中空白框中应填入（ ）

记 $S_n$ 为等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 n项和．已知 $S_4=0，a_5=5$ ，则（ ）

已知椭圆C的焦点为 $F_1(-1,0)，F_2(1,0)$ ，过 F ₂的直线与 C交于 A， B两点.若 $\mathit{│A}{F}_2│=2│F_2\mathit{B│}$ ， $│\mathit{AB}│=│B{F}_1│$ ，则 C的方程为（ ）

关于函数 $f\left(x\right)=\mathit{sin}|x|+|\mathit{sin}x|$ 有下述四个结论：

① f( x)是偶函数        ② f( x)在区间（ $\frac{\pi }{2}$ , $\pi$ ）单调递增

③ f( x)在 $[-\pi ,\pi ]$ 有4个零点    ④ f( x)的最大值为2

其中所有正确结论的编号是（ ）

已知三棱锥 P- ABC的四个顶点在球 O的球面上， PA= PB= PC，△ ABC是边长为2的正三角形， E， F分别是 PA， AB的中点，∠ CEF=90°，则球 O的体积为（ ）

曲线 $y=3(x^2+x)e^x$在点 $(0,0)$处的切线方程为___________．

记S_n为等比数列{a_n}的前n项和．若 $a_1=\frac{1}{3}，a_4^2=a_6$，则S₅=____________．

甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．

已知双曲线C： $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的左、右焦点分别为F₁，F₂，过F₁的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若 $\stackrel{⃑}{F_{1}A}=\stackrel{⃑}{\mathit{AB}}$， $\stackrel{⃑}{F_{1}B}\cdot \stackrel{⃑}{F_{2}B}=0$，则C的离心率为____________．

$△\mathit{ABC}$的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设 $(\mathit{sin}B-\mathit{sin}C{)}^2=\mathit{sin}{}^{2}A-\mathit{sin}B\mathit{sin}C$．

（1）求A；

（2）若 $\sqrt{2}a+b=2c$，求sinC．

如图，直四棱柱 ABCD-A ₁ B ₁ C ₁ D ₁的底面是菱形， AA ₁=4， AB=2，∠ BAD=60°， E， M， N分别是 BC ， BB ₁， A ₁ D的中点．

（1）证明： MN∥平面 C ₁ DE；

（2）求二面角 A-MA ₁ -N的正弦值．

已知抛物线C：y²=3x的焦点为F，斜率为 $\frac{3}{2}$的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．

（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；

（2）若 $\stackrel{⃑}{\mathit{AP}}=3\stackrel{⃑}{\mathit{PB}}$，求|AB|．

已知函数 $f\left(x\right)=\mathit{sin}x-\mathit{ln}(1+x)$， $f^{\text{'}}\left(x\right)$为 $f\left(x\right)$的导数．证明：

（1） $f^{\text{'}}\left(x\right)$在区间 $(-1,\frac{\pi }{2})$存在唯一极大值点；

（2） $f\left(x\right)$有且仅有2个零点．

为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得 $-1$分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得 $-1$分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．

（1）求 $X$的分布列；

（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分， $p_i(i=0,1,\cdots ,8)$表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 $p_0=0$， $p_8=1$， $p_i=a{p}_{i-1}+b{p}_i+c{p}_{i+1}(i=1,2,\cdots ,7)$，其中 $a=P(X=-1)$， $b=P(X=0)$， $c=P(X=1)$．假设 $\alpha =0.5$， $\beta =0.8$．

(i)证明： $\{p_{i+1}-p_i\}(i=0,1,2,\cdots ,7)$为等比数列；

(ii)求 $p_4$，并根据 $p_4$的值解释这种试验方案的合理性．

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=\frac{1-t^2}{1+t^2}，\\ y=\frac{4t}{1+t^2}\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 $2\rho \mathit{cos}\theta +\sqrt{3}\rho \mathit{sin}\theta +11=0$．

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）求C上的点到l距离的最小值．

已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：

（1） $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le a^2+b^2+c^2$；

（2） $(a+b{)}^3+(b+c{)}^3+(c+a{)}^3\ge 24$．