初中数学锐角三角函数试题

在等边 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=6$ ， $\mathit{BD}\perp \mathit{AC}$ ，垂足为 $D$ ，点 $E$ 为 $\mathit{AB}$ 边上一点，点 $F$ 为直线 $\mathit{BD}$ 上一点，连接 $\mathit{EF}$ ．

（1）将线段 $\mathit{EF}$ 绕点 $E$ 逆时针旋转 $60°$ 得到线段 $\mathit{EG}$ ，连接 $\mathit{FG}$ ．

①如图1，当点 $E$ 与点 $B$ 重合，且 $\mathit{GF}$ 的延长线过点 $C$ 时，连接 $\mathit{DG}$ ，求线段 $\mathit{DG}$ 的长；

②如图2，点 $E$ 不与点 $A$ ， $B$ 重合， $\mathit{GF}$ 的延长线交 $\mathit{BC}$ 边于点 $H$ ，连接 $\mathit{EH}$ ，求证： $\mathit{BE}+\mathit{BH}=\sqrt{3}\mathit{BF}$ ；

（2）如图3，当点 $E$ 为 $\mathit{AB}$ 中点时，点 $M$ 为 $\mathit{BE}$ 中点，点 $N$ 在边 $\mathit{AC}$ 上，且 $\mathit{DN}=2\mathit{NC}$ ，点 $F$ 从 $\mathit{BD}$ 中点 $Q$ 沿射线 $\mathit{QD}$ 运动，将线段 $\mathit{EF}$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $60°$ 得到线段 $\mathit{EP}$ ，连接 $\mathit{FP}$ ，当 $\mathit{NP}+\frac{1}{2}\mathit{MP}$ 最小时，直接写出 $\mathit{\Delta DPN}$ 的面积．

如图，在建筑物 $\mathit{AB}$ 左侧距楼底 $B$ 点水平距离150米的 $C$ 处有一山坡，斜坡 $\mathit{CD}$ 的坡度（或坡比）为 $i=1:2.4$ ，坡顶 $D$ 到 $\mathit{BC}$ 的垂直距离 $\mathit{DE}=50$ 米（点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 在同一平面内），在点 $D$ 处测得建筑物顶 $A$ 点的仰角为 $50°$ ，则建筑物 $\mathit{AB}$ 的高度约为 $($ 　　 $)$

（参考数据： $\sin 50°\approx 0.77$ ； $\cos 50°\approx 0.64$ ； $\tan 50°\approx 1.19)$

A．

69.2米

B．

73.1米

C．

80.0米

D．

85.7米

如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站 $\mathit{MA}$ 和 $\mathit{ND}$ ．甲在山脚点 $C$ 处测得通信基站顶端 $M$ 的仰角为 $60°$ ，测得点 $C$ 距离通信基站 $\mathit{MA}$ 的水平距离 $\mathit{CB}$ 为 $30m$ ；乙在另一座山脚点 $F$ 处测得点 $F$ 距离通信基站 $\mathit{ND}$ 的水平距离 $\mathit{FE}$ 为 $50m$ ，测得山坡 $\mathit{DF}$ 的坡度 $i=1:1.25$ ．若 $\mathit{ND}=\frac{5}{8}\mathit{DE}$ ，点 $C$ ， $B$ ， $E$ ， $F$ 在同一水平线上，则两个通信基站顶端 $M$ 与顶端 $N$ 的高度差为（参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.41$ ， $\sqrt{3}\approx 1.73\left)\right($ 　　 $)$

A．

$9.0m$

B．

$12.8m$

C．

$13.1m$

D．

$22.7m$

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$ 中， $E$ ， $F$ 是对角线 $\mathit{BD}$ 上的两点（点 $E$ 在点 $F$ 左侧），且 $\angle \mathit{AEB}=\angle \mathit{CFD}=90°$ ．

（1）求证：四边形 $\mathit{AECF}$ 是平行四边形；

（2）当 $\mathit{AB}=5$ ， $\tan \angle \mathit{ABE}=\frac{3}{4}$ ， $\angle \mathit{CBE}=\angle \mathit{EAF}$ 时，求 $\mathit{BD}$ 的长．

图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形（如图 $2)$ ，则图1中所标注的 $d$ 的值为 　　；记图1中小正方形的中心为点 $A$ ， $B$ ， $C$ ，图2中的对应点为点 $A\text{'}$ ， $B\text{'}$ ， $C\text{'}$ ．以大正方形的中心 $O$ 为圆心作圆，则当点 $A\text{'}$ ， $B\text{'}$ ， $C\text{'}$ 在圆内或圆上时，圆的最小面积为 　　．

图1是第七届国际数学教育大会 $\left(\mathit{ICME}\right)$ 会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形 $\mathit{OABC}$ ．若 $\mathit{AB}=\mathit{BC}=1$ ， $\angle \mathit{AOB}=\alpha$ ，则 $O{C}^2$ 的值为 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{1}{{\sin }^2\alpha }+1$

B．

${\sin }^2\alpha +1$

C．

$\frac{1}{{\cos }^2\alpha }+1$

D．

${\cos }^2\alpha +1$

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AD}=20$ ， $\mathit{BC}=\mathit{DC}=10\sqrt{2}$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABC}\cong \mathit{\Delta ADC}$ ；

（2）当 $\angle \mathit{BCA}=45°$ 时，求 $\angle \mathit{BAD}$ 的度数．

图1是放置在水平地面上的落地式话筒架实物图，图2是其示意图．支撑杆 $\mathit{AB}$ 垂直于地面 $l$ ，活动杆 $\mathit{CD}$ 固定在支撑杆上的点 $E$ 处．若 $\angle \mathit{AED}=48°$ ， $\mathit{BE}=110\mathit{cm}$ ， $\mathit{DE}=80\mathit{cm}$ ，求活动杆端点 $D$ 离地面的高度 $\mathit{DF}$ ．（结果精确到 $1\mathit{cm}$ ，参考数据： $\sin 48°\approx 0.74$ ， $\cos 48°\approx 0.67$ ， $\tan 48°\approx 1.11)$

如图，将长、宽分别为 $12\mathit{cm}$ ， $3\mathit{cm}$ 的长方形纸片分别沿 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{AC}$ 折叠，点 $M$ ， $N$ 恰好重合于点 $P$ ．若 $\angle \alpha =60°$ ，则折叠后的图案（阴影部分）面积为 $($ 　　 $)$

A．

$(36-6\sqrt{3})c{m}^2$

B．

$(36-12\sqrt{3})c{m}^2$

C．

$24c{m}^2$

D．

$36c{m}^2$

拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为 $l$ ，底座 $\mathit{AB}$ 固定，高 $\mathit{AB}$ 为 $50\mathit{cm}$ ，连杆 $\mathit{BC}$ 长度为 $70\mathit{cm}$ ，手臂 $\mathit{CD}$ 长度为 $60\mathit{cm}$ ．点 $B$ ， $C$ 是转动点，且 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{BC}$ 与 $\mathit{CD}$ 始终在同一平面内．

（1）转动连杆 $\mathit{BC}$ ，手臂 $\mathit{CD}$ ，使 $\angle \mathit{ABC}=143°$ ， $\mathit{CD}//l$ ，如图2，求手臂端点 $D$ 离操作台 $l$ 的高度 $\mathit{DE}$ 的长（精确到 $1\mathit{cm}$ ，参考数据： $\sin 53°\approx 0.8$ ， $\cos 53°\approx 0.6)$ ．

（2）物品在操作台 $l$ 上，距离底座 $A$ 端 $110\mathit{cm}$ 的点 $M$ 处，转动连杆 $\mathit{BC}$ ，手臂 $\mathit{CD}$ ，手臂端点 $D$ 能否碰到点 $M$ ？请说明理由．

如图， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{BAC}=90°$ ， $\cos B=\frac{1}{4}$ ，点 $D$ 是边 $\mathit{BC}$ 的中点，以 $\mathit{AD}$ 为底边在其右侧作等腰三角形 $\mathit{ADE}$ ，使 $\angle \mathit{ADE}=\angle B$ ，连结 $\mathit{CE}$ ，则 $\frac{\mathit{CE}}{\mathit{AD}}$ 的值为 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{3}{2}$

B．

$\sqrt{3}$

C．

$\frac{\sqrt{15}}{2}$

D．

2

图1是某折叠式靠背椅实物图，图2是椅子打开时的侧面示意图，椅面 $\mathit{CE}$ 与地面平行，支撑杆 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{BC}$ 可绕连接点 $O$ 转动，且 $\mathit{OA}=\mathit{OB}$ ，椅面底部有一根可以绕点 $H$ 转动的连杆 $\mathit{HD}$ ，点 $H$ 是 $\mathit{CD}$ 的中点， $\mathit{FA}$ ， $\mathit{EB}$ 均与地面垂直，测得 $\mathit{FA}=54\mathit{cm}$ ， $\mathit{EB}=45\mathit{cm}$ ， $\mathit{AB}=48\mathit{cm}$ ．

（1）椅面 $\mathit{CE}$ 的长度为 　　 $\mathit{cm}$ ．

（2）如图3，椅子折叠时，连杆 $\mathit{HD}$ 绕着支点 $H$ 带动支撑杆 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{BC}$ 转动合拢，椅面和连杆夹角 $\angle \mathit{CHD}$ 的度数达到最小值 $30°$ 时， $A$ ， $B$ 两点间的距离为 　　 $\mathit{cm}$ （结果精确到 $0.1\mathit{cm})$ ．

（参考数据： $\sin 15°\approx 0.26$ ， $\cos 15°\approx 0.97$ ， $\tan 15°\approx 0.27)$

我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄 $\mathit{AP}$ 始终平分同一平面内两条伞骨所成的角 $\angle \mathit{BAC}$ ，且 $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ，从而保证伞圈 $D$ 能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈 $D$ 已滑动到点 $D^{\text{'}}$ 的位置，且 $A$ ， $B$ ， $D\text{'}$ 三点共线， $\mathit{AD}\text{'}=40\mathit{cm}$ ， $B$ 为 $\mathit{AD}\text{'}$ 中点．当 $\angle \mathit{BAC}=140°$ 时，伞完全张开．

（1）求 $\mathit{AB}$ 的长．

（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈 $D$ 沿着伞柄向下滑动的距离．

（参考数据： $\sin 70°\approx 0.94$ ， $\cos 70°\approx 0.34$ ， $\tan 70°\approx 2.75)$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle B=45°$ ， $\angle C=60°$ ， $\mathit{AD}\perp \mathit{BC}$ 于点 $D$ ， $\mathit{BD}=\sqrt{3}$ ．若 $E$ ， $F$ 分别为 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{BC}$ 的中点，则 $\mathit{EF}$ 的长为 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

B．

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

C．

1

D．

$\frac{\sqrt{6}}{2}$

如图， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径，弦 $\mathit{CD}\perp \mathit{OA}$ 于点 $E$ ，连结 $\mathit{OC}$ ， $\mathit{OD}$ ．若 $\odot O$ 的半径为 $m$ ， $\angle \mathit{AOD}=\angle \alpha$ ，则下列结论一定成立的是 $($ 　　 $)$

A．	$\mathit{OE}=m\cdot \tan \alpha$	B．	$\mathit{CD}=2m\cdot \sin \alpha$
C．	$\mathit{AE}=m\cdot \cos \alpha$	D．	$S_{\mathit{\Delta COD}}=\frac{1}{2}{m}^2\cdot \sin \alpha$