初中数学勾股定理的证明试题

如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形 $\mathit{EFGH}$ 组成，恰好拼成一个大正方形 $\mathit{ABCD}$ ．连结 $\mathit{EG}$ 并延长交 $\mathit{BC}$ 于点 $M$ ．若 $\mathit{AB}=\sqrt{13}$ ， $\mathit{EF}=1$ ，则 $\mathit{GM}$ 的长为 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{2\sqrt{2}}{5}$

B．

$\frac{2\sqrt{2}}{3}$

C．

$\frac{3\sqrt{2}}{4}$

D．

$\frac{4\sqrt{2}}{5}$

如图，数字代表所在正方形的面积，则 $A$ 所代表的正方形的面积为 　　．

在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为"无字证明"．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是 $($ 　　 $)$

A．

统计思想

B．

分类思想

C．

数形结合思想

D．

函数思想

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AD}\perp \mathit{BC}$ ，垂足为 $D$ ， $\mathit{BD}=\mathit{CD}$ ，延长 $\mathit{BC}$ 至 $E$ ，使得 $\mathit{CE}=\mathit{CA}$ ，连接 $\mathit{AE}$ ．

（1）求证： $\angle B=\angle \mathit{ACB}$ ；

（2）若 $\mathit{AB}=5$ ， $\mathit{AD}=4$ ，求 $\mathit{\Delta ABE}$ 的周长和面积．

（1）阅读理解

我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．

根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；

（2）问题解决

勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形 $\mathit{ACDE}$的中心 $O$，作 $\mathit{FG}\perp \mathit{HP}$，将它分成4份，所分成的四部分和以 $\mathit{BC}$为边的正方形恰好能拼成以 $\mathit{AB}$为边的正方形．若 $\mathit{AC}=12$， $\mathit{BC}=5$，求 $\mathit{EF}$的值；

（3）拓展探究

如图③，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形．设大正方形 $N$的边长为定值 $n$，小正方形 $A$， $B$， $C$， $D$的边长分别为 $a$， $b$， $c$， $d$．

已知 $\angle 1=\angle 2=\angle 3=\alpha$，当角 $\alpha (0°<\alpha <90°)$变化时，探究 $b$与 $c$的关系式，并写出该关系式及解答过程 $(b$与 $c$的关系式用含 $n$的式子表示）．

我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若 $a=3$， $b=4$，则该矩形的面积为 $($　　 $)$

A．20B．24C． $\frac{99}{4}$D． $\frac{53}{2}$

我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1所示．在图2中，若正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为14，正方形 $\mathit{IJKL}$的边长为2，且 $\mathit{IJ}//\mathit{AB}$，则正方形 $\mathit{EFGH}$的边长为　　．

我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为 $a$、 $b$，那么 ${(a-b)}^2$的值是　　．

2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为 $a$，较长直角边长为 $b$，那么 ${(a+b)}^2$的值为 $($　　 $)$

A．13B．19C．25D．169

魏朝时期，刘徽利用下图通过“以盈补虚，出入相补”的方法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”证明了勾股定理．若图中，，则的长为　　．

魏朝时期，刘徽利用下图通过“以盈补虚，出入相补”的方法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”证明了勾股定理．若图中，，则的长为　　．

如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，则的值为　　．

勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有"若勾三，股四，则弦五"的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅"弦图"（如图 $1)$ ，后人称之为"赵爽弦图"，流传至今．

（1）①请叙述勾股定理；

②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）

（2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足 $S_1+S_2=S_3$ 的有 　 　个；

②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为 $S_1$ ， $S_2$ ，直角三角形面积为 $S_3$ ，请判断 $S_1$ ， $S_2$ ， $S_3$ 的关系并证明；

（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的"勾股树"．在如图9所示的"勾股树"的某部分图形中，设大正方形 $M$ 的边长为定值 $m$ ，四个小正方形 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 的边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ ，已知 $\angle 1=\angle 2=\angle 3=\angle \alpha$ ，则当 $\angle \alpha$ 变化时，回答下列问题：（结果可用含 $m$ 的式子表示）

① $a^2+b^2+c^2+d^2=$ 　　；

② $b$ 与 $c$ 的关系为 　　， $a$ 与 $d$ 的关系为 　　．

勾股定理是"人类最伟大的十个科学发现之一"．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为"赵爽弦图" $.2002$ 年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是"赵爽弦图"的是 $($ 　　 $)$

A．

B．

C．

D．

如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点在直线上，分别过点、作直线于点，直线于点．

①求证：；

②若设三边分别为、、，利用此图证明勾股定理．