勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有"若勾三，股四，则弦五"的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅"弦图"（如图 $1)$ ，后人称之为"赵爽弦图"，流传至今．

（1）①请叙述勾股定理；

②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）

（2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足 $S_1+S_2=S_3$ 的有 　 　个；

②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为 $S_1$ ， $S_2$ ，直角三角形面积为 $S_3$ ，请判断 $S_1$ ， $S_2$ ， $S_3$ 的关系并证明；

（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的"勾股树"．在如图9所示的"勾股树"的某部分图形中，设大正方形 $M$ 的边长为定值 $m$ ，四个小正方形 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 的边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ ，已知 $\angle 1=\angle 2=\angle 3=\angle \alpha$ ，则当 $\angle \alpha$ 变化时，回答下列问题：（结果可用含 $m$ 的式子表示）

① $a^2+b^2+c^2+d^2=$ 　　；

② $b$ 与 $c$ 的关系为 　　， $a$ 与 $d$ 的关系为 　　．