初中数学一次函数的最值解答题

【问题情境】
张老师给爱好学习的小林和小兰提出这样一个问题：如图①，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE=CF．

小林的证明思路是：如图②，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．
小兰的证明思路是：如图②，过点P作PG⊥CF，垂足为G，通过证明四边形PDFG是矩形，
可得：PD=GF，PE=CG，则PD+PE=CF．
【变式探究】如图③，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PD﹣PE=CF；
【结论运用】请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：
如图④，在平面直角坐标系中有两条直线l₁：y=x+3、l₂：y=﹣3x+3，若l₂上的一点M到l₁的距离是1，请运用上述的结论求出点M的坐标．

已知一次函数y＝▓▓的图像过点A（0,3），B（2,4），C（m，0）题目中的阴影部分是一段因墨水污染而无法辨认的文字．
（1）根据已有的信息你能求出一次函数的表达式吗？若能，写出解题过程；不能，说明理由
（2）小明说“不用求表达式也能画出函数的图像”你认为对吗？为什么？
（3）根据表达式画出函数图像
（4）过点B能不能画一条直线将△ABO（O为坐标原点）分成面积比为1:2两部分？若能可以画几条？并写出此直线对应的函数表达式

如图，直线AC是一次函数y=2x+3的图象，直线BC是一次函数y=﹣2x﹣1的图象．

（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求△ABC的面积．

近年来，随着社会竞争的日益激烈，家长为使孩子不输在教育的起跑线上，不惜花费重金购置教育质量好的学区的房产．张先生准备购买一套小户型学区房，他去某楼盘了解情况得知，该户型的单价是12000元/，面积如图所示（单位：米，卫生间的宽未定，设宽为米），售房部为张先生提供了以下两种优惠方案：
方案一：整套房的单价是12000元/，其中厨房可免费赠送的面积；
方案二：整套房按原销售总金额的9折出售．

（1）用表示方案一中购买一套该户型商品房的总金额，用表示方案二中购买一套该户型商品房的总金额，分别求出两种方案中的总金额、（用含x的式子表示）；
（2）求当x = 2时，两种方案的总金额分别是多少元？
（3）张先生因现金不够，在银行借了18万元住房贷款，贷款期限为6年，从开始贷款的下一个月起逐月偿还，贷款月利率是0．5%，每月还款数额=平均每月应还的贷款本金数额+月利息，月利息=上月所剩贷款本金数额×月利率．
① 张先生借款后第一个月应还款数额是多少元？
② 假设贷款月利率不变，若张先生在借款后第（，是正整数）个月的还款
数额为P，请写出P与之间的关系式．

某自行车队根据队员速度的不同，分为快1组、快2组、慢1组和慢2组四个小组，在该车队的一次训练中，快1组和慢1组从甲地行进到乙地，剩下的组从乙地行进到甲地．快1组和慢1组同时从甲地出发，快1组的队员以高于慢1组队员10km/h的速度前行，快1组行驶一段时间后因某些原因又往回行驶（在往返过程中速度不变），最终与慢1组汇合，汇合后两组继续以各自的速度向乙地行进．设快1组和慢1组行驶的时间为t，与甲地的距离为s，s与t之间的函数图象如图所示．

（1）求OA解析式；
（2）已知甲地到乙地的距离为90km，在快1组与慢1组汇合时，慢2组（慢2组的速度与慢1组相同）由乙地开始出发，经过一段时间后，快1组和慢2组同时到达补给站．
①求此时慢2组与甲地之间的距离；
②若快2组在某一时刻也从乙地出发，速度与快1组相同，如果快2组不能比慢2组晚到甲地，求快2组比慢2组最多晚出发多少小时？

先阅读短文，然后回答短文后面所给出的问题：
对于三个数a、b、c的平均数，最小的数都可以给出符号来表示，我们规定 表示这三个数的平均数，表示这三个数中的最小的数，表示这三个数中最大的数．例如：，，；，．
（1）请填空：      ；若，则      ；
（2）若，求的取值范围；
（3）若，求的值．

某玉米种子的价格为a元/千克，如果一次购买2千克以上的种子，超过2千克部分的种子价格打8折，某科技人员对付款金额和购买量这两个变量的对应关系用列表法做了分析，并绘制出了函数图象，以下是该科技人员绘制的图象和表格的不完全资料，已知点A的坐标为（2，10），请你结合表格和图象：

付款金额（元）	a	7．5	10	12	b
购买量（千克）	1	1．5	2	2．5	3

 
（1）指出付款金额和购买量哪个变量是函数的自变量x，并写出表中a、b的值；
（2）求出当x＞2时，y关于x的函数解析式；
（3）甲农户将88元钱全部用了购买该玉米种子，乙农户购买了4165克该玉米种子，分别计算他们的购买量和付款金额．

某公司有A型产品40件，B型产品60件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且都能卖完，两商店销售这两种产品每件的利润（元）如下表：

	A型利润	B型利润
甲店	200	170
乙店	160	150

（1）设分配给甲店A型产品x件，这件公司卖出这100件产品的总利润W（元），求W关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；
（2）若要求总利润不低于17560元，有多少种不同分配方案，并将各种方案设计出来；
（3）为了促销，公司决定仅对甲店A型产品让利销售，每件让利a元，但让利后A型产品的每件利润仍高于甲店B型产品的每件利润．甲店的B型产品以及乙店的A、B型产品的每件利润不变，问该公司又如何设计分配方案，使总利润达到最大．

如图1，A₁B₁和A₂B₂是水面上相邻的两条赛道（看成两条互相平行的线段）．甲是一名游泳运动健将，乙是一名游泳爱好者，甲在赛道A₁B₁上从A₁处出发，到达B₁后，以同样的速度返回A₁处，然后重复上述过程；乙在赛道A₂B₂上以2m/s的速度从B₂处出发，到达A₂后以相同的速度回到B₂处，然后重复上述过程（不考虑每次折返时的减速和转向时间）．若甲、乙两人同时出发，设离开池边B₁B₂的距离为y（m），运动时间为t（s），甲游动时，y（m）与t（s）的函数图象如图2所示．

（1）赛道的长度是           m，甲的速度是            m/s；
（2）经过多少秒时，甲、乙两人第二次相遇？
（3）若从甲、乙两人同时开始出发到2分钟为止，甲、乙共相遇了       次．2分钟时，乙距池边B₁B₂的距离为多少米．

如图①，已知直线y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点D，与直线y=交于点E，
过点D作DC∥x轴，交直线y=于点C．过点C作CB∥AD交x轴于点B．
（1）点C的坐标是      ；
（2）以线段AD的中点M为圆心作⊙M，当⊙M与直线CE相切时，求⊙M的半径；
（3）如图②，点P从点O出发，沿线段OC向终点C运动，点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．若P、Q两点同时出发，速度均为1单位长度/s，时间为ts，当点Q到达终点时，P、Q两点均停止运动．在点P、Q的运动过程中，将线段PQ绕点P沿顺时针方向旋转90°后，设点Q的对应点为R．当点R落在四边形ABCD一边所在的直线上时，直接写出t的值．

一辆慢车与一辆快车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，两车在途中相遇后都停留一段时间，然后分别按原速一同驶往甲地后停车．设慢车行驶的时间为x小时，两车之间的距离为y千米，图中折线表示y与x之间的函数图象，请根据图象解决下列问题：

（1）甲乙两地之间的距离为          千米；
（2）求快车和慢车的速度；
（3）求线段DE所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

如图①，已知直线分别交x轴，y轴于点A，点B．点P是射线AO上的一个动点．把线段PO绕点P逆时针旋转90°得到的对应线段为PO’，再延长PO’ 到C使CO’ = PO’ , 连结AC，设点P坐标为（m，0），△APC 的面积为S．

（1）直接写出OA和OB的长，OA的长是          ， OB的长是          ；
（2）当点P在线段OA上（不含端点）时，求S关于m的函数表达式；
（3）当以A，P，C为顶点的三角形和△AOB相似时，求出所有满足条件的m的值；
（4）如图②，当点P关于OC的对称点P’ 落在直线AB上时，m的值是              ．

如图1，P（2，2），点A在x轴正半轴上运动，点B在y轴上运动，且PA=PB．

（1）求证：PA⊥PB；
（2）若点A（8，0），求点B的坐标；
（3）求OA – OB的值；
（4）如图2，若点B在y轴正半轴上运动时，直接写出OA+OB的值．

甲、乙两人从少年宫出发，沿相同的路分别以不同的速度匀速跑向体育馆，甲先跑一段路程后，乙开始出发，当乙超出甲150米时，乙停在此地等候甲，两人相遇后乙又继续以原来的速度跑向体育馆．如图是甲、乙两人在跑步的全过程中经过的路程y（米）与甲出发的时间x（秒）的函数图象．

（1）在跑步的全过程中，甲共跑了    米，甲的速度为    米/秒；
（2）乙跑步的速度是多少？乙在途中等候甲用了多长时间？
（3）甲出发多长时间第一次与乙相遇？此时乙跑了多少米？

某零件制造车间有工人20名，已知每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件，可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元，在这20名工人中，车间每天安排x名工人制造甲种零件，其余工人制造乙种零件，且生产乙种零件的个数不超过甲种零件个数的一半．
（1）请写出此车间每天所获利润y（元）与x（人）之间的函数关系式；
（2）求自变量x的取值范围；
（3）怎样安排生产，每天获得的利润最大，最大利润是多少？