初中数学解直角三角形的应用-坡度坡角问题试题

如图，信号塔 $\mathit{PQ}$座落在坡度 $i=1:2$的山坡上，其正前方直立着一警示牌．当太阳光线与水平线成 $60°$角时，测得信号塔 $\mathit{PQ}$落在斜坡上的影子 $\mathit{QN}$长为 $2\sqrt{5}$米，落在警示牌上的影子 $\mathit{MN}$长为3米，求信号塔 $\mathit{PQ}$的高．（结果不取近似值）

如图1，水坝的横截面是梯形 $\mathit{ABCD}$， $\angle \mathit{ABC}=37°$，坝顶 $\mathit{DC}=3m$，背水坡 $\mathit{AD}$的坡度 $i$（即 $\tan \angle \mathit{DAB})$为 $1:0.5$，坝底 $\mathit{AB}=14m$．

（1）求坝高；

（2）如图2，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固，使得 $\mathit{AE}=2\mathit{DF}$， $\mathit{EF}\perp \mathit{BF}$，求 $\mathit{DF}$的长．（参考数据： $\sin 37°\approx \frac{3}{5}$， $\cos 37°\approx \frac{4}{5}$， $\tan 37°\approx \frac{3}{4})$

如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长 $5m$的竹竿 $\mathit{AC}$斜靠在石坝旁，量出杆长 $1m$处的 $D$点离地面的高度 $\mathit{DE}=0.6m$，又量得杆底与坝脚的距离 $\mathit{AB}=3m$，则石坝的坡度为 $($　　 $)$

A． $\frac{3}{4}$B．3C． $\frac{3}{5}$D．4

资阳市为实现 $5G$网络全覆盖， $2020-2025$年拟建设 $5G$基站七千个．如图，在坡度为 $i=1:2.4$的斜坡 $\mathit{CB}$上有一建成的基站塔 $\mathit{AB}$，小芮在坡脚 $C$测得塔顶 $A$的仰角为 $45°$，然后她沿坡面 $\mathit{CB}$行走13米到达 $D$处，在 $D$处测得塔顶 $A$的仰角为 $53°$．（点 $A$、 $B$、 $C$、 $D$均在同一平面内）（参考数据： $\sin 53°\approx \frac{4}{5}$， $\cos 53°\approx \frac{3}{5}$， $\tan 53°\approx \frac{4}{3})$

（1）求 $D$处的竖直高度；

（2）求基站塔 $\mathit{AB}$的高．

如图，这是一座一侧有缓步台的过街天桥示意图．已知桥面 $\mathit{BC}$长为 $10m$，与水平面的垂直距离为 $6m$，桥面 $\mathit{DE}$长为 $6m$，与水平面的垂直距离为 $4m$．斜坡 $\mathit{AB}$， $\mathit{CD}$与水平面的夹角分别为 $45°$， $27°$，斜坡 $\mathit{EF}$的坡度（即 $\mathit{EQ}:\mathit{FQ})$为 $2:3$．求天桥跨度 $\mathit{AF}$的长．

参考数据： $(\sin 27°\approx \frac{9}{20}$， $\cos 27°\approx \frac{9}{10}$， $\tan 27°\approx \frac{1}{2})$

如图，雨后初晴，李老师在公园散步，看见积水水面上出现梯步上方树的倒影，于是想利用倒影与物体的对称性测量这颗树的高度，他的方法是：测得树顶的仰角 $\angle 1$、测量点 $A$到水面平台的垂直高度 $\mathit{AB}$、看到倒影顶端的视线与水面交点 $C$到 $\mathit{AB}$的水半距离 $\mathit{BC}$．再测得梯步斜坡的坡角 $\angle 2$和长度 $\mathit{EF}$，根据以下数据进行计算，

如图， $\mathit{AB}=2$米， $\mathit{BC}=1$米， $\mathit{EF}=4\sqrt{6}$米， $\angle 1=60°$， $\angle 2=45°$．已知线段 $\mathit{ON}$和线段 $\mathit{OD}$关于直线 $\mathit{OB}$对称．（以下结果保留根号）

（1）求梯步的高度 $\mathit{MO}$；

（2）求树高 $\mathit{MN}$．

小明沿着坡度 $\mathit{i}$为 $\mathit{1}\mathit{:}\sqrt{\mathit{3}}$的直路向上走了 $\mathit{50}\mathit{m}$，则小明沿垂直方向升高了　   　 $\mathit{m}$．

如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角 $\alpha$ 要满足 $60°⩽\alpha ⩽75°$ ，现有一架长 $5.5m$ 的梯子．

（1）使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙（结果保留小数点后一位）？

（2）当梯子底端距离墙面 $2.2m$ 时， $\alpha$ 等于多少度（结果保留小数点后一位）？此时人是否能够安全使用这架梯子？

（参考数据： $\sin 75°\approx 0.97$ ， $\cos 75°\approx 0.26$ ， $\tan 75°\approx 3.73$ ， $\sin 23.6°\approx 0.40$ ， $\cos 66.4°\approx 0.40$ ， $\tan 21.8°\approx 0.40$ ． $)$

如图， $\mathit{BC}$是路边坡角为 $30°$，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆 $\mathit{CD}$的顶端 $D$处有一探射灯，射出的边缘光线 $\mathit{DA}$和 $\mathit{DB}$与水平路面 $\mathit{AB}$所成的夹角 $\angle \mathit{DAN}$和 $\angle \mathit{DBN}$分别是 $37°$和 $60°$（图中的点 $A$、 $B$、 $C$、 $D$、 $M$、 $N$均在同一平面内， $\mathit{CM}//\mathit{AN})$．

（1）求灯杆 $\mathit{CD}$的高度；

（2）求 $\mathit{AB}$的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据： $\sqrt{3}=1.73$． $\sin 37°\approx 0.60$， $\cos 37°\approx 0.80$， $\tan 37°\approx 0.75)$

如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形 $\mathit{ABCD}$， $\mathit{DC}//\mathit{AB}$． $\mathit{BC}$长6米，坡角 $\beta$为 $45°$， $\mathit{AD}$的坡角 $\alpha$为 $30°$，则 $\mathit{AD}$长为　　米（结果保留根号）．

如图，在建筑物 $\mathit{AB}$ 左侧距楼底 $B$ 点水平距离150米的 $C$ 处有一山坡，斜坡 $\mathit{CD}$ 的坡度（或坡比）为 $i=1:2.4$ ，坡顶 $D$ 到 $\mathit{BC}$ 的垂直距离 $\mathit{DE}=50$ 米（点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 在同一平面内），在点 $D$ 处测得建筑物顶 $A$ 点的仰角为 $50°$ ，则建筑物 $\mathit{AB}$ 的高度约为 $($ 　　 $)$

（参考数据： $\sin 50°\approx 0.77$ ； $\cos 50°\approx 0.64$ ； $\tan 50°\approx 1.19)$

A．

69.2米

B．

73.1米

C．

80.0米

D．

85.7米

太原地铁2号线是山西省第一条开通运营的地铁线路，于2020年12月26日开通，如图是该地铁某站扶梯的示意图，扶梯 $\mathit{AB}$ 的坡度 $i=5:12(i$ 为铅直高度与水平宽度的比）．王老师乘扶梯从扶梯底端 $A$ 以0.5米 $/$ 秒的速度用时40秒到达扶梯顶端 $B$ ，则王老师上升的铅直高度 $\mathit{BC}$ 为 　　米．

如图，小明在距离地面30米的 $P$处测得 $A$处的俯角为 $15°$， $B$处的俯角为 $60°$．若斜面坡度为 $1:\sqrt{3}$，则斜坡 $\mathit{AB}$的长是　 　米．

为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固．如图，加固前拦水坝的横断面是梯形 $\mathit{ABCD}$．已知迎水坡面 $\mathit{AB}=12$米，背水坡面 $\mathit{CD}=12\sqrt{3}$米， $\angle B=60°$，加固后拦水坝的横断面为梯形 $\mathit{ABED}$， $\tan E=\frac{3}{13}\sqrt{3}$，则 $\mathit{CE}$的长为　   　米．

某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图所示，已知原阶梯式自动扶梯 $\mathit{AB}$长为 $10m$，坡角 $\angle \mathit{ABD}$为 $30°$；改造后的斜坡式自动扶梯的坡角 $\angle \mathit{ACB}$为 $15°$，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯 $\mathit{AC}$的长度，（结果精确到0． $m$，温馨提示： $\sin 15°\approx 0.26$， $\tan 15°\approx 0.27)$