初中数学解直角三角形试题

如图，以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$外接于 $\mathit{\Delta ABC}$，过 $A$点的切线 $\mathit{AP}$与 $\mathit{BC}$的延长线交于点 $P$， $\angle \mathit{APB}$的平分线分别交 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$于点 $D$， $E$，其中 $\mathit{AE}$， $\mathit{BD}(\mathit{AE}<\mathit{BD})$的长是一元二次方程 $x^2-5x+6=0$的两个实数根．

（1）求证： $\mathit{PA}\cdot \mathit{BD}=\mathit{PB}\cdot \mathit{AE}$；

（2）在线段 $\mathit{BC}$上是否存在一点 $M$，使得四边形 $\mathit{ADME}$是菱形？若存在，请给予证明，并求其面积；若不存在，说明理由．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}=2\sqrt{3}$，把边 $\mathit{BC}$绕点 $B$逆时针旋转 $30°$得到线段 $\mathit{BP}$，连接 $\mathit{AP}$并延长交 $\mathit{CD}$于点 $E$，连接 $\mathit{PC}$，则三角形 $\mathit{PCE}$的面积为　　．

如图，要测量小河两岸相对的两点 $P$， $A$的距离，可以在小河边取 $\mathit{PA}$的垂线 $\mathit{PB}$上的一点 $C$，测得 $\mathit{PC}=100$米， $\angle \mathit{PCA}=35°$，则小河宽 $\mathit{PA}$等于 $($　　 $)$

A． $100\sin 35°$米B． $100\sin 55°$米C． $100\tan 35°$米D． $100\tan 55°$米

定义：

我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．

理解：

（1）如图1，已知 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点 $D$，使四边形 $\mathit{ABCD}$是以 $\mathit{AC}$为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出3个即可）；

（2）如图2，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{ABC}=80°$， $\angle \mathit{ADC}=140°$，对角线 $\mathit{BD}$平分 $\angle \mathit{ABC}$．

求证： $\mathit{BD}$是四边形 $\mathit{ABCD}$的“相似对角线”；

（3）如图3，已知 $\mathit{FH}$是四边形 $\mathit{EFGH}$的“相似对角线”， $\angle \mathit{EFH}=\angle \mathit{HFG}=30°$，连接 $\mathit{EG}$，若 $\mathit{\Delta EFG}$的面积为 $2\sqrt{3}$，求 $\mathit{FH}$的长．

如图，以 $\mathit{\Delta ABC}$的边 $\mathit{AC}$为直径的 $\odot O$恰为 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆， $\angle \mathit{ABC}$的平分线交 $\odot O$于点 $D$，过点 $D$作 $\mathit{DE}//\mathit{AC}$交 $\mathit{BC}$的延长线于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{DE}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AB}=2\sqrt{5}$， $\mathit{BC}=\sqrt{5}$，求 $\mathit{DE}$的长．

在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ABC}=90°$．

（1）如图1，分别过 $A$、 $C$两点作经过点 $B$的直线的垂线，垂足分别为 $M$、 $N$，求证： $\mathit{\Delta ABM}\backsim \mathit{\Delta BCN}$；

（2）如图2， $P$是边 $\mathit{BC}$上一点， $\angle \mathit{BAP}=\angle C$， $\tan \angle \mathit{PAC}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，求 $\tan C$的值；

（3）如图3， $D$是边 $\mathit{CA}$延长线上一点， $\mathit{AE}=\mathit{AB}$， $\angle \mathit{DEB}=90°$， $\sin \angle \mathit{BAC}=\frac{3}{5}$， $\frac{\mathit{AD}}{\mathit{AC}}=\frac{2}{5}$，直接写出 $\tan \angle \mathit{CEB}$的值．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=60°$， $\mathit{AC}=1$， $D$是边 $\mathit{AB}$的中点， $E$是边 $\mathit{BC}$上一点．若 $\mathit{DE}$平分 $\mathit{\Delta ABC}$的周长，则 $\mathit{DE}$的长是　      　．

问题：已知 $\alpha$、 $\beta$均为锐角， $\tan \alpha =\frac{1}{2}$， $\tan \beta =\frac{1}{3}$，求 $\alpha +\beta$的度数．

探究：（1）用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为 $1)$，请借助这个网格图求出 $\alpha +\beta$的度数；

延伸：（2）设经过图中 $M$、 $P$、 $H$三点的圆弧与 $\mathit{AH}$交于 $R$，求 $\stackrel{̂}{\mathit{MR}}$的弧长．

如图，平面直角坐标系中， $\odot P$经过三点 $A(8,0)$， $O(0,0)$， $B(0,6)$，点 $D$是 $\odot P$上的一动点．当点 $D$到弦 $\mathit{OB}$的距离最大时， $\tan \angle \mathit{BOD}$的值是 $($　　 $)$

A．2B．3C．4D．5

如图，以 $\mathit{AB}$边为直径的 $\odot O$经过点 $P$， $C$是 $\odot O$上一点，连接 $\mathit{PC}$交 $\mathit{AB}$于点 $E$，且 $\angle \mathit{ACP}=60°$， $\mathit{PA}=\mathit{PD}$．

（1）试判断 $\mathit{PD}$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由；

（2）若点 $C$是弧 $\mathit{AB}$的中点，已知 $\mathit{AB}=4$，求 $\mathit{CE}\cdot \mathit{CP}$的值．

如图， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径， $C$为 $\odot O$上一点，经过点 $C$的切线交 $\mathit{AB}$的延长线于点 $E$， $\mathit{AD}\perp \mathit{EC}$交 $\mathit{EC}$的延长线于点 $D$， $\mathit{AD}$交 $\odot O$于 $F$， $\mathit{FM}\perp \mathit{AB}$于 $H$，分别交 $\odot O$、 $\mathit{AC}$于 $M$、 $N$，连接 $\mathit{MB}$， $\mathit{BC}$．

（1）求证： $\mathit{AC}$平分 $\angle \mathit{DAE}$；

（2）若 $\cos M=\frac{4}{5}$， $\mathit{BE}=1$，

①求 $\odot O$的半径；

②求 $\mathit{FN}$的长．

如图， $\mathit{AB}$为 $\odot O$直径， $P$点为半径 $\mathit{OA}$上异于 $O$点和 $A$点的一个点，过 $P$点作与直径 $\mathit{AB}$垂直的弦 $\mathit{CD}$，连接 $\mathit{AD}$，作 $\mathit{BE}\perp \mathit{AB}$， $\mathit{OE}//\mathit{AD}$交 $\mathit{BE}$于 $E$点，连接 $\mathit{AE}$、 $\mathit{DE}$、 $\mathit{AE}$交 $\mathit{CD}$于 $F$点．

（1）求证： $\mathit{DE}$为 $\odot O$切线；

（2）若 $\odot O$的半径为3， $\sin \angle \mathit{ADP}=\frac{1}{3}$，求 $\mathit{AD}$；

（3）请猜想 $\mathit{PF}$与 $\mathit{FD}$的数量关系，并加以证明．

如图， $\odot O$是 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆， $\mathit{AB}$为直径，点 $P$为 $\odot O$外一点，且 $\mathit{PA}=\mathit{PC}=\sqrt{2}\mathit{AB}$，连接 $\mathit{PO}$交 $\mathit{AC}$于点 $D$，延长 $\mathit{PO}$交 $\odot O$于点 $F$．

（1）证明： $\stackrel{̂}{\mathit{AF}}=\stackrel{̂}{\mathit{CF}}$；

（2）若 $\tan \angle \mathit{ABC}=2\sqrt{2}$，证明： $\mathit{PA}$是 $\odot O$的切线；

（3）在（2）条件下，连接 $\mathit{PB}$交 $\odot O$于点 $E$，连接 $\mathit{DE}$，若 $\mathit{BC}=2$，求 $\mathit{DE}$的长．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$内接于 $\odot O$， $\mathit{BC}$为 $\odot O$的直径， $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$交于点 $E$， $P$为 $\mathit{CB}$延长线上一点，连接 $\mathit{PA}$，且 $\angle \mathit{PAB}=\angle \mathit{ADB}$．

（1）求证： $\mathit{PA}$为 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AB}=6$， $\tan \angle \mathit{ADB}=\frac{3}{4}$，求 $\mathit{PB}$长；

（3）在（2）的条件下，若 $\mathit{AD}=\mathit{CD}$，求 $\mathit{\Delta CDE}$的面积．

如图， $\mathit{PA}$、 $\mathit{PB}$是 $\odot O$的切线，切点为 $A$、 $B$． $\mathit{AC}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{OP}$与 $\mathit{AB}$交于点 $D$，连接 $\mathit{BC}$．下列结论：① $\angle \mathit{APB}=2\angle \mathit{BAC}$② $\mathit{OP}//\mathit{BC}$③若 $\tan C=3$，则 $\mathit{OP}=5\mathit{BC}$④ $A{C}^2=4\mathit{OD}·\mathit{OP}$，其中正确结论的个数为 $($　　 $)$

A．4个B．3个C．2个D．1个