初中数学锐角三角函数的定义试题

如图，已知点 $E$是矩形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$上的一动点，正方形 $\mathit{EFGH}$的顶点 $G$、 $H$都在边 $\mathit{AD}$上，若 $\mathit{AB}=3$， $\mathit{BC}=4$，则 $\tan \angle \mathit{AFE}$的值 $($　　 $)$

A．等于 $\frac{3}{7}$B．等于 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

C．等于 $\frac{3}{4}$D．随点 $E$位置的变化而变化

矩形 $\mathit{AOBC}$中， $\mathit{OB}=4$， $\mathit{OA}=3$．分别以 $\mathit{OB}$， $\mathit{OA}$所在直线为 $x$轴， $y$轴，建立如图1所示的平面直角坐标系． $F$是 $\mathit{BC}$边上一个动点（不与 $B$， $C$重合），过点 $F$的反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k>0)$的图象与边 $\mathit{AC}$交于点 $E$．

（1）当点 $F$运动到边 $\mathit{BC}$的中点时，求点 $E$的坐标；

（2）连接 $\mathit{EF}$，求 $\angle \mathit{EFC}$的正切值；

（3）如图2，将 $\mathit{\Delta CEF}$沿 $\mathit{EF}$折叠，点 $C$恰好落在边 $\mathit{OB}$上的点 $G$处，求此时反比例函数的解析式．

某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺 $\mathit{CA}$的0刻度固定在半圆的圆心 $O$处，刻度尺可以绕点 $O$旋转．从图中所示的图尺可读出 $\sin \angle \mathit{AOB}$的值是 $($　　 $)$

A． $\frac{5}{8}$B． $\frac{7}{8}$C． $\frac{7}{10}$D． $\frac{4}{5}$

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=2$， $\angle B$是锐角， $\mathit{AE}\perp \mathit{BC}$于点 $E$， $M$是 $\mathit{AB}$的中点，连接 $\mathit{MD}$， $\mathit{ME}$．若 $\angle \mathit{EMD}=90°$，则 $\cos B$的值为　　．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $A(-4,4)$， $B(-4,-2)$， $C(-2,2)$．

（1）请画出将 $\mathit{\Delta ABC}$向右平移8个单位长度后的△ $A_1{B}_1{C}_1$；

（2）求出 $\angle A_1{B}_1{C}_1$的余弦值；

（3）以 $O$为位似中心，将△ $A_1{B}_1{C}_1$缩小为原来的 $\frac{1}{2}$，得到△ $A_2{B}_2{C}_2$，请在 $y$轴右侧画出△ $A_2{B}_2{C}_2$．

在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$， $\mathit{AB}=5$， $\mathit{BC}=3$，则 $\tan A$的值是 $($　　 $)$

A． $\frac{3}{4}$B． $\frac{4}{3}$C． $\frac{3}{5}$D． $\frac{4}{5}$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AC}=3$ ， $\mathit{BC}=4$ ， $D$ 、 $E$ 分别在 $\mathit{CA}$ 、 $\mathit{CB}$ 上，点 $F$ 在 $\mathit{\Delta ABC}$ 内．若四边形 $\mathit{CDFE}$ 是边长为1的正方形，则 $\sin \angle \mathit{FBA}=$ 　　．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$的四个顶点分别在直线 $l_3$， $l_4$， $l_2$， $l_1$上．若直线 $l_1//l_2//l_3//l_4$且间距相等， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=3$，则 $\tan \alpha$的值为 $($　　 $)$

A． $\frac{3}{8}$B． $\frac{3}{4}$C． $\frac{\sqrt{5}}{2}$D． $\frac{\sqrt{15}}{15}$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，点 $D$为 $\mathit{AB}$边的中点，连接 $\mathit{CD}$，若 $\mathit{BC}=4$， $\mathit{CD}=3$，则 $\cos \angle \mathit{DCB}$的值为　 　．

如图，过锐角 $\mathit{\Delta ABC}$的顶点 $A$作 $\mathit{DE}//\mathit{BC}$， $\mathit{AB}$恰好平分 $\angle \mathit{DAC}$， $\mathit{AF}$平分 $\angle \mathit{EAC}$交 $\mathit{BC}$的延长线于点 $F$．在 $\mathit{AF}$上取点 $M$，使得 $\mathit{AM}=\frac{1}{3}\mathit{AF}$，连接 $\mathit{CM}$并延长交直线 $\mathit{DE}$于点 $H$．若 $\mathit{AC}=2$， $\mathit{\Delta AMH}$的面积是 $\frac{1}{12}$，则 $\frac{1}{\tan \angle \mathit{ACH}}$的值是　　．

问题探究：

小红遇到这样一个问题：如图1， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AC}=4$， $\mathit{AD}$是中线，求 $\mathit{AD}$的取值范围．她的做法是：延长 $\mathit{AD}$到 $E$，使 $\mathit{DE}=\mathit{AD}$，连接 $\mathit{BE}$，证明 $\mathit{\Delta BED}\cong \mathit{\Delta CAD}$，经过推理和计算使问题得到解决．

请回答：（1）小红证明 $\mathit{\Delta BED}\cong \mathit{\Delta CAD}$的判定定理是：　 　；

（2） $\mathit{AD}$的取值范围是　　；

方法运用：

（3）如图2， $\mathit{AD}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的中线，在 $\mathit{AD}$上取一点 $F$，连结 $\mathit{BF}$并延长交 $\mathit{AC}$于点 $E$，使 $\mathit{AE}=\mathit{EF}$，求证： $\mathit{BF}=\mathit{AC}$．

（4）如图3，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{BC}}=\frac{1}{2}$，在 $\mathit{BD}$上取一点 $F$，以 $\mathit{BF}$为斜边作 $\text{Rt}\Delta \text{BEF}$，且 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{BE}}=\frac{1}{2}$，点 $G$是 $\mathit{DF}$的中点，连接 $\mathit{EG}$， $\mathit{CG}$，求证： $\mathit{EG}=\mathit{CG}$．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$是边 $\mathit{BC}$的中点， $\mathit{AE}\perp \mathit{BD}$，垂足为 $F$，则 $\tan \angle \mathit{BDE}$的值是 $($　　 $)$

A． $\frac{\sqrt{2}}{4}$B． $\frac{1}{4}$C． $\frac{1}{3}$D． $\frac{\sqrt{2}}{3}$

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$是边 $\mathit{BC}$的中点， $\mathit{AE}\perp \mathit{BD}$，垂足为 $F$，则 $\tan \angle \mathit{BDE}$的值是 $($　　 $)$

A． $\frac{\sqrt{2}}{4}$B． $\frac{1}{4}$C． $\frac{1}{3}$D． $\frac{\sqrt{2}}{3}$

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，点 $D$在 $\odot O$上（点 $D$不与 $A$， $B$重合），直线 $\mathit{AD}$交过点 $B$的切线于点 $C$，过点 $D$作 $\odot O$的切线 $\mathit{DE}$交 $\mathit{BC}$于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{BE}=\mathit{CE}$；

（2）若 $\mathit{DE}//\mathit{AB}$，求 $\sin \angle \mathit{ACO}$的值．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\mathit{\Delta DBC}$和 $\mathit{\Delta ABC}$关于直线 $\mathit{BC}$对称，连接 $\mathit{AD}$，与 $\mathit{BC}$相交于点 $O$，过点 $C$作 $\mathit{CE}\perp \mathit{CD}$，垂足为 $C$， $\mathit{AD}$相交于点 $E$，若 $\mathit{AD}=8$， $\mathit{BC}=6$，则 $\frac{2\mathit{OE}+\mathit{AE}}{\mathit{BD}}$的值为 $($　　 $)$

A． $\frac{4}{3}$B． $\frac{3}{4}$C． $\frac{5}{3}$D． $\frac{5}{4}$