初中数学锐角三角函数的定义试题

矩形 $\mathit{AOBC}$中， $\mathit{OB}=4$， $\mathit{OA}=3$．分别以 $\mathit{OB}$， $\mathit{OA}$所在直线为 $x$轴， $y$轴，建立如图1所示的平面直角坐标系． $F$是 $\mathit{BC}$边上一个动点（不与 $B$， $C$重合），过点 $F$的反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k>0)$的图象与边 $\mathit{AC}$交于点 $E$．

（1）当点 $F$运动到边 $\mathit{BC}$的中点时，求点 $E$的坐标；

（2）连接 $\mathit{EF}$，求 $\angle \mathit{EFC}$的正切值；

（3）如图2，将 $\mathit{\Delta CEF}$沿 $\mathit{EF}$折叠，点 $C$恰好落在边 $\mathit{OB}$上的点 $G$处，求此时反比例函数的解析式．

如图，已知在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ABC}=90°$，以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$与 $\mathit{AC}$交于点 $D$，点 $E$是 $\mathit{BC}$的中点，连接 $\mathit{BD}$， $\mathit{DE}$．

（1）若 $\frac{\mathit{AD}}{\mathit{AB}}=\frac{1}{3}$，求 $\sin C$；

（2）求证： $\mathit{DE}$是 $\odot O$的切线．

如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O经过 $\mathit{Rt}△\mathit{ACD}$的直角边DC上的点F，交AC边于点E，点F是弧EB的中点， $\angle C＝90°$，连接AF．

（1）求证：直线CD是⊙O切线．

（2）若 $\mathit{BD}＝2$， $\mathit{OB}＝4$，求 $\mathit{tan}\angle \mathit{AFC}$的值．

如图，点 $P$在等边 $\mathit{\Delta ABC}$的内部，且 $\mathit{PC}=6$， $\mathit{PA}=8$， $\mathit{PB}=10$，将线段 $\mathit{PC}$绕点 $C$顺时针旋转 $60°$得到 $P^{\text{'}}C$，连接 $A{P}^{\text{'}}$，则 $\sin \angle \mathit{PA}{P}^{\text{'}}$的值为　　．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$分别交 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$于点 $D$、 $E$，点 $F$在 $\mathit{AC}$的延长线上，且 $\angle \mathit{BAC}=2\angle \mathit{CBF}$．

（1）求证： $\mathit{BF}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\odot O$的直径为4， $\mathit{CF}=6$，求 $\tan \angle \mathit{CBF}$．

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AE}$平分 $\angle \mathit{DAB}$，已知 $\mathit{CE}=6$， $\mathit{BE}=8$， $\mathit{DE}=10$．

（1）求证： $\angle \mathit{BEC}=90°$；

（2）求 $\cos \angle \mathit{DAE}$．

问题探究：

小红遇到这样一个问题：如图1， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AC}=4$， $\mathit{AD}$是中线，求 $\mathit{AD}$的取值范围．她的做法是：延长 $\mathit{AD}$到 $E$，使 $\mathit{DE}=\mathit{AD}$，连接 $\mathit{BE}$，证明 $\mathit{\Delta BED}\cong \mathit{\Delta CAD}$，经过推理和计算使问题得到解决．

请回答：（1）小红证明 $\mathit{\Delta BED}\cong \mathit{\Delta CAD}$的判定定理是：　 　；

（2） $\mathit{AD}$的取值范围是　　；

方法运用：

（3）如图2， $\mathit{AD}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的中线，在 $\mathit{AD}$上取一点 $F$，连结 $\mathit{BF}$并延长交 $\mathit{AC}$于点 $E$，使 $\mathit{AE}=\mathit{EF}$，求证： $\mathit{BF}=\mathit{AC}$．

（4）如图3，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{BC}}=\frac{1}{2}$，在 $\mathit{BD}$上取一点 $F$，以 $\mathit{BF}$为斜边作 $\text{Rt}\Delta \text{BEF}$，且 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{BE}}=\frac{1}{2}$，点 $G$是 $\mathit{DF}$的中点，连接 $\mathit{EG}$， $\mathit{CG}$，求证： $\mathit{EG}=\mathit{CG}$．

已知，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$，若 $\sin A=\frac{2}{3}$， $\mathit{BC}=4$，则 $\mathit{AB}$长为 $($　　 $)$

A．6B． $\frac{4\sqrt{5}}{5}$C． $\frac{8}{3}$D． $2\sqrt{13}$

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°$， $\mathit{AD}\perp \mathit{BC}$于点 $D$，则下列结论不正确的是 $($　　 $)$

A． $\sin B=\frac{\mathit{AD}}{\mathit{AB}}$B． $\sin B=\frac{\mathit{AC}}{\mathit{BC}}$C． $\sin B=\frac{\mathit{AD}}{\mathit{AC}}$D． $\sin B=\frac{\mathit{CD}}{\mathit{AC}}$

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=3$， $\mathit{BC}=2$， $H$是 $\mathit{AB}$的中点，将 $\mathit{\Delta CBH}$沿 $\mathit{CH}$折叠，点 $B$落在矩形内点 $P$处，连接 $\mathit{AP}$，则 $\tan \angle \mathit{HAP}=$　    　．

如图，在矩形 ABCD中，点 E是 CD的中点，点 F是 BC上一点，且 FC＝2 BF，连接 AE， EF．若 AB＝2， AD＝3，则cos∠ AEF的值是 　　．

如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的余弦值是（　　）

A．2B． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$C． $\frac{1}{2}$D． $\frac{\sqrt{5}}{5}$

在Rt△ABC中， $\angle C＝90°$， $\sin A=\frac{4}{5}$， $\mathit{AC}＝6\mathit{cm}$，则BC的长度为（　　）

A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\mathit{\Delta DBC}$和 $\mathit{\Delta ABC}$关于直线 $\mathit{BC}$对称，连接 $\mathit{AD}$，与 $\mathit{BC}$相交于点 $O$，过点 $C$作 $\mathit{CE}\perp \mathit{CD}$，垂足为 $C$， $\mathit{AD}$相交于点 $E$，若 $\mathit{AD}=8$， $\mathit{BC}=6$，则 $\frac{2\mathit{OE}+\mathit{AE}}{\mathit{BD}}$的值为 $($　　 $)$

A． $\frac{4}{3}$B． $\frac{3}{4}$C． $\frac{5}{3}$D． $\frac{5}{4}$

如图，在 $4\times 4$ 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1， $E$ 为 $\mathit{BD}$ 与正方形网格线的交点，下列结论正确的是 $($ 　　 $)$

A．

$\mathit{CE}\ne \frac{1}{2}\mathit{BD}$

B．

$\mathit{\Delta ABC}\cong \mathit{\Delta CBD}$

C．

$\mathit{AC}=\mathit{CD}$

D．

$\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{CBD}$