初中数学锐角三角函数的定义试题

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AE}\perp \mathit{BC}$，垂足为点 $E$，以 $\mathit{AE}$为直径的 $\odot O$与边 $\mathit{CD}$相切于点 $F$，连接 $\mathit{BF}$交 $\odot O$于点 $G$，连接 $\mathit{EG}$．

（1）求证： $\mathit{CD}=\mathit{AD}+\mathit{CE}$．

（2）若 $\mathit{AD}=4\mathit{CE}$，求 $\tan \angle \mathit{EGF}$的值．

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AE}$平分 $\angle \mathit{DAB}$，已知 $\mathit{CE}=6$， $\mathit{BE}=8$， $\mathit{DE}=10$．

（1）求证： $\angle \mathit{BEC}=90°$；

（2）求 $\cos \angle \mathit{DAE}$．

如图，已知矩形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别是 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{AB}$ 上的点， $\mathit{EF}\perp \mathit{EC}$ ，且 $\mathit{AE}=\mathit{CD}$ ．

（1）求证： $\mathit{AF}=\mathit{DE}$ ；

（2）若 $\mathit{DE}=\frac{2}{5}\mathit{AD}$ ，求 $\tan \angle \mathit{AFE}$ ．

如图，已知在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$， $\mathit{AB}=5$， $\mathit{BC}=3$，则 $\cos B$的值是 $($　　 $)$

A． $\frac{3}{5}$B． $\frac{4}{5}$C． $\frac{3}{4}$D． $\frac{4}{3}$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AC}=3$ ， $\mathit{BC}=4$ ， $D$ 、 $E$ 分别在 $\mathit{CA}$ 、 $\mathit{CB}$ 上，点 $F$ 在 $\mathit{\Delta ABC}$ 内．若四边形 $\mathit{CDFE}$ 是边长为1的正方形，则 $\sin \angle \mathit{FBA}=$ 　　．

问题探究：

小红遇到这样一个问题：如图1， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AC}=4$， $\mathit{AD}$是中线，求 $\mathit{AD}$的取值范围．她的做法是：延长 $\mathit{AD}$到 $E$，使 $\mathit{DE}=\mathit{AD}$，连接 $\mathit{BE}$，证明 $\mathit{\Delta BED}\cong \mathit{\Delta CAD}$，经过推理和计算使问题得到解决．

请回答：（1）小红证明 $\mathit{\Delta BED}\cong \mathit{\Delta CAD}$的判定定理是：　 　；

（2） $\mathit{AD}$的取值范围是　　；

方法运用：

（3）如图2， $\mathit{AD}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的中线，在 $\mathit{AD}$上取一点 $F$，连结 $\mathit{BF}$并延长交 $\mathit{AC}$于点 $E$，使 $\mathit{AE}=\mathit{EF}$，求证： $\mathit{BF}=\mathit{AC}$．

（4）如图3，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{BC}}=\frac{1}{2}$，在 $\mathit{BD}$上取一点 $F$，以 $\mathit{BF}$为斜边作 $\text{Rt}\Delta \text{BEF}$，且 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{BE}}=\frac{1}{2}$，点 $G$是 $\mathit{DF}$的中点，连接 $\mathit{EG}$， $\mathit{CG}$，求证： $\mathit{EG}=\mathit{CG}$．

已知，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$，若 $\sin A=\frac{2}{3}$， $\mathit{BC}=4$，则 $\mathit{AB}$长为 $($　　 $)$

A．6B． $\frac{4\sqrt{5}}{5}$C． $\frac{8}{3}$D． $2\sqrt{13}$

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $C$， $D$是 $\odot O$上 $\mathit{AB}$两侧的点，若 $\angle D=30°$，则 $\tan \angle \mathit{ABC}$的值为 $($　　 $)$

A． $\frac{1}{2}$B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$C． $\sqrt{3}$D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为2， $P$为 $\mathit{CD}$的中点，连接 $\mathit{AP}$，过点 $B$作 $\mathit{BE}\perp \mathit{AP}$于点 $E$，延长 $\mathit{CE}$交 $\mathit{AD}$于点 $F$，过点 $C$作 $\mathit{CH}\perp \mathit{BE}$于点 $G$，交 $\mathit{AB}$于点 $H$，连接 $\mathit{HF}$．下列结论正确的是 $($　　 $)$

A． $\mathit{CE}=\sqrt{5}$B． $\mathit{EF}=\frac{\sqrt{2}}{2}$C． $\cos \angle \mathit{CEP}=\frac{\sqrt{5}}{5}$D． $H{F}^2=\mathit{EF}\cdot \mathit{CF}$

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=3$， $\mathit{BC}=2$， $H$是 $\mathit{AB}$的中点，将 $\mathit{\Delta CBH}$沿 $\mathit{CH}$折叠，点 $B$落在矩形内点 $P$处，连接 $\mathit{AP}$，则 $\tan \angle \mathit{HAP}=$　    　．

如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点 $A$， $B$， $C$都在格点上，则 $\angle \mathit{ABC}$的正切值是 $($　　 $)$

A．2B． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$C． $\frac{\sqrt{5}}{5}$D． $\frac{1}{2}$

如图，已知在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ABC}=90°$，以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$与 $\mathit{AC}$交于点 $D$，点 $E$是 $\mathit{BC}$的中点，连接 $\mathit{BD}$， $\mathit{DE}$．

（1）若 $\frac{\mathit{AD}}{\mathit{AB}}=\frac{1}{3}$，求 $\sin C$；

（2）求证： $\mathit{DE}$是 $\odot O$的切线．

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$的顶点坐标分别为 $A(3,0)$， $B(0,4)$， $C(-3,0)$．动点 $M$， $N$同时从 $A$点出发， $M$沿 $A\to C$， $N$沿折线 $A\to B\to C$，均以每秒1个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点 $C$时，另一个动点也随之停止移动，移动的时间记为 $t$秒．连接 $\mathit{MN}$．

（1）求直线 $\mathit{BC}$的解析式；

（2）移动过程中，将 $\mathit{\Delta AMN}$沿直线 $\mathit{MN}$翻折，点 $A$恰好落在 $\mathit{BC}$边上点 $D$处，求此时 $t$值及点 $D$的坐标；

（3）当点 $M$， $N$移动时，记 $\mathit{\Delta ABC}$在直线 $\mathit{MN}$右侧部分的面积为 $S$，求 $S$关于时间 $t$的函数关系式．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\mathit{\Delta DBC}$和 $\mathit{\Delta ABC}$关于直线 $\mathit{BC}$对称，连接 $\mathit{AD}$，与 $\mathit{BC}$相交于点 $O$，过点 $C$作 $\mathit{CE}\perp \mathit{CD}$，垂足为 $C$， $\mathit{AD}$相交于点 $E$，若 $\mathit{AD}=8$， $\mathit{BC}=6$，则 $\frac{2\mathit{OE}+\mathit{AE}}{\mathit{BD}}$的值为 $($　　 $)$

A． $\frac{4}{3}$B． $\frac{3}{4}$C． $\frac{5}{3}$D． $\frac{5}{4}$

如图，在 $4\times 4$ 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1， $E$ 为 $\mathit{BD}$ 与正方形网格线的交点，下列结论正确的是 $($ 　　 $)$

A．

$\mathit{CE}\ne \frac{1}{2}\mathit{BD}$

B．

$\mathit{\Delta ABC}\cong \mathit{\Delta CBD}$

C．

$\mathit{AC}=\mathit{CD}$

D．

$\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{CBD}$