在边长为10的正方形ABCD中,以AB为直径作半圆O,如图①,E是半圆上一动点,过点E作EF⊥AB,垂足为F,连结DE.
当DE=10时,求证:DE与圆O相切;
求DE的最长距离和最短距离;
如图②,建立平面直角坐标系,当DE =10时,试求直线DE的解析式.
如图,AB是⊙O的直径,C、P是上两点,AB=13,AC=5,
(1)如图(1),若点P是的中点,求PA的长;
(2)如图(2),若点P是的中点,求PA得长 .
在平面直角坐标系中△ABC的边AB在x轴上,且OA>OB,以AB为直径的圆过点C,若C的坐标为(0,2),AB="5," A,B两点的横坐标XA,XB是关于X的方程的两根:
求m,n的值;
若∠ACB的平分线所在的直线交x轴于点D,试求直线对应的一次函数的解析式;
过点D任作一直线分别交射线CA,CB(点C除外)于点M,N,则的值是否为定值,若是,求出定值,若不是,请说明理由
如图,中,,,,动点从点出发,在边上以每秒的速度向点匀速运动,同时动点从点出发,在边上以每秒的速度向点匀速运动,运动时间为秒(),连接。
(1)若与相似,求的值;
(2)连接,,若,求的值
、(本题12分)如图,设抛物线C1:, C2:,C1与C2的交点为A, B,点A的坐标是,点B的横坐标是-2.
(1)求的值及点B的坐标;
(2)点D在线段AB上,过D作x轴的垂线,垂足为点H,在DH的右侧作正三角形DHG.记过C2顶点M的直线为,且与x轴交于点N.
① 若过△DHG的顶点G,点D的坐标为(1, 2),求点N的横坐标;
② 若与△DHG的边DG相交,求点N的横坐标的取值范围.
如图,△ABC中,AB=AC,作以AB为直径的⊙O与边BC交于点D,过点D作⊙O的切线,分别交AC、AB的延长线于点E、F.
(1)求证:EF⊥AC;
(2)若BF=2,CE=1.2,求⊙O的半径.
已知矩形ABCD的一条边AD=8,将矩形ABCD折叠,使得顶点B落在CD边上的P点处.
(1)如图1,已知折痕与边BC交于点O,连结AP、OP、OA.
①求证:△OCP∽△PDA;
②若△OCP与△PDA的面积比为1:4,求边AB的长;
(2)若图1中的点P恰好是CD边的中点,求∠OAB的度数;
(3)如图2,在(1)的条件下,擦去折痕AO、线段OP,连结BP.动点M在线段AP上(点M与点P、A不重合),动点N在线段AB的延长线上,且BN=PM,连结MN交PB于点F,作ME⊥BP于点E.试问当点M、N在移动过程中,线段EF的长度是否发生变化?若变化,说明理由;若不变,求出线段EF的长度.
如图1,OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O为原点,点A在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,OA=5,OC=4.在OC边上取一点D,将纸片沿AD翻折,使点O落在BC边上的点E处,边AE上有一动点P(不与A,E重合)自A点沿AE方向向E点匀速运动,运动的速度为每秒1个单位长度,设运动的时间为t秒(0<t<5),过P点作ED的平行线交AD于点M,过点M作AE的平行线交DE于点N.
(1)直接写出 D,E 两点的坐标,D( ),E( )
(2)求四边形PMNE的面积S与时间t之间的函数关系式;当t取何值时,S有最大值?
(3)当t为何值时,DP平分∠EDA?
(4)当t为何值时,以A,M,E为顶点的三角形为等腰三角形,并求出相应的时刻点M的坐标.
如图,已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=11,BC=13,AB=12.动点P、Q分别在边AD和BC上,且BQ=2DP.线段PQ与BD相交于点E,过点E作EF∥BC,交CD于点F,射线PF交BC的延长线于点G,设DP=x.
(1)求的值.
(2)当点P运动时,试探究四边形EFGQ的面积是否会发生变化?如果发生变化,请用x的代数式表示四边形EFGQ的面积S;如果不发生变化,请求出这个四边形的面积S.
(3)当△PQG是以线段PQ为腰的等腰三角形时,求x的值.
类比、转化、从特殊到一般等思想方法,在数学学习和研究中经常用到,如下是一个案例,请补充完整.
原题:如图1,在□ABCD中,点E是BC边上的中点,点F是线段AE上一点,BF的延长线交射线CD于点G,若,求的值.
(1)尝试探究
在图1中,过点E作交BG于点H,则AB和EH的数量关系是 ,CG和EH的数量关系是 ,的值是
(2)类比延伸
如图2,在原题的条件下,若(m>0),则的值是 (用含的代数式表示),试写出解答过程.
(3)拓展迁移
如图3,梯形ABCD中,DC∥AB,点E是BC延长线上一点,AE和BD相交于点F,若,(,),则的值是 (用含a、b的代数式表示).
已知,如图,以点P(﹣1,0)为圆心的圆,交x轴于A、C两点(A在C的左侧),交y轴于B、D两点(B在D的上方),且∠BAC=30°,
(1)如图①求⊙P的半径及点B的坐标;
(2)点Q是⊙P上任意一点,求△ABQ面积S的取值范围;
(3)如图②,已知点M(-5,0),过M作直线y=kx+b交y轴于点N,
①若MN//AB,试判断MN与⊙P的位置关系,并说明理由;
②在该直线上存在一点G,使以G、A、C为顶点的三角形是直角三角形,且满足条件的点G有且只有三个不同位置,求直线MN的函数关系式.
(本题14分)如图,在等边中,于点,点在边上运动,过点作与边交于点,连结,以为邻边作□,设□与重叠部分图形的面积为,线段的长为
(1)求线段的长(用含的代数式表示);
(2)当四边形为菱形时,求的值;
(3)直接写出与之间的函数关系式.
如图,直线l经过点A(1,0),且与双曲线y=(x>0)交于点B(2,1),过点P(p,p-1)(p>1)作x轴的平行线分别交曲线y=(x>0)和y=-(x<0)于M,N两点.
(1)求m的值及直线l的解析式;
(2)若点P在直线y=2上,求证:△PMB∽△PNA;
(3)是否存在实数p,使得S△AMN=4S△APM?若存在,请求出所有满足条件的p的值;若不存在,请说明理由.
如图,已知左右并排的两棵树高分别是AB=8m,CD=12m,两树的根部的距离BD=5m,小明眼睛离地面的高度EF为1.6m,他沿着正对这两棵树的一条水平直路从左到右前进,当他与左边较低的树的距离小于多少时,就不能看到右边较高的树的顶端点C?
如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,P是斜边AB上的一个动点(点P与点A、B不重合),以点P为圆心,PA为半径的⊙P与射线AC的另一个交点为D,射线PD交射线BC于点E.
(1)如图1,若点E在线段BC的延长线上,设AP=x,CE=y,
①求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;
②当以BE为直径的圆和⊙P外切时,求AP的长;
(2)设线段BE的中点为Q,射线PQ与⊙P相交于点I,若CI=AP,求AP的长.