初中数学圆试题

如图，正方形ABCD中，点E、F分别在AB、BC上，DH⊥EF于H，DA=HD，EH=2，HF=3．则正方形ABCD的边长为         ．

如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，设p=BC+CD， 四边形ABCD的面积为S．

（1）试探究与之间的关系，并说明理由；
（2）若四边形的面积为9，求的值．

如图1， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径，点 $E$ 是 $\odot O$ 上一动点，且不与 $A$ ， $B$ 两点重合， $\angle \mathit{EAB}$ 的平分线交 $\odot O$ 于点 $C$ ，过点 $C$ 作 $\mathit{CD}\perp \mathit{AE}$ ，交 $\mathit{AE}$ 的延长线于点 $D$ ．

（1）求证： $\mathit{CD}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）求证： $A{C}^2=2\mathit{AD}\cdot \mathit{AO}$ ；

（3）如图2，原有条件不变，连接 $\mathit{BE}$ ， $\mathit{BC}$ ，延长 $\mathit{AB}$ 至点 $M$ ， $\angle \mathit{EBM}$ 的平分线交 $\mathit{AC}$ 的延长线于点 $P$ ， $\angle \mathit{CAB}$ 的平分线交 $\angle \mathit{CBM}$ 的平分线于点 $Q$ ．求证：无论点 $E$ 如何运动，总有 $\angle P=\angle Q$ ．

（本题满分11分．为方便答题，可在答卷上画出你认为必要的图形）
如图，已知：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、H分别是AD、BC、BE、CE的中点．

（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）四边形EGFH是什么特殊四边形？并证明你的结论．
（3）连接EF,当四边形EGFH是正方形时，线段EF与BC有什么数量关系？请说明理由．

有一张一个角为30°，最小边长为4的直角三角形纸片，沿图中所示的中位线剪开后，将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是             ．

如图，已知正比例函数和反比例函数的图象交于点A（m，-2）．

（1）求反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；
（3）若双曲线上点C（2，n）沿OA方向平移个单位长度得到点B，判断四边形OABC的形状并证明你的结论．

如图，抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{3}{2}x+2$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $C$．

（1）试探究 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆的圆心位置，求出圆心坐标；

（2）点 $P$是抛物线上一点（不与点 $A$重合），且 $S_{\mathit{\Delta PBC}}=S_{\mathit{\Delta ABC}}$，求 $\angle \mathit{APB}$的度数；

（3）在（2）的条件下，点 $E$是 $x$轴上方抛物线上一点，点 $F$是抛物线对称轴上一点，是否存在这样的点 $E$和点 $F$，使得以点 $B$、 $P$、 $E$、 $F$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 $F$的坐标；若不存在，请说明理由．

在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ， $D$ 是边 $\mathit{BC}$ 上一动点，连接 $\mathit{AD}$ ，将 $\mathit{AD}$ 绕点 $A$ 逆时针旋转至 $\mathit{AE}$ 的位置，使得 $\angle \mathit{DAE}+\angle \mathit{BAC}=180°$ ．

（1）如图1，当 $\angle \mathit{BAC}=90°$ 时，连接 $\mathit{BE}$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $F$ ．若 $\mathit{BE}$ 平分 $\angle \mathit{ABC}$ ， $\mathit{BD}=2$ ，求 $\mathit{AF}$ 的长；

（2）如图2，连接 $\mathit{BE}$ ，取 $\mathit{BE}$ 的中点 $G$ ，连接 $\mathit{AG}$ ．猜想 $\mathit{AG}$ 与 $\mathit{CD}$ 存在的数量关系，并证明你的猜想；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接 $\mathit{DG}$ ， $\mathit{CE}$ ．若 $\angle \mathit{BAC}=120°$ ，当 $\mathit{BD}>\mathit{CD}$ ， $\angle \mathit{AEC}=150°$ 时，请直接写出 $\frac{\mathit{BD}-\mathit{DG}}{\mathit{CE}}$ 的值．

在扇形 $\mathit{AOB}$ 中，半径 $\mathit{OA}=6$ ，点 $P$ 在 $\mathit{OA}$ 上，连结 $\mathit{PB}$ ，将 $\mathit{\Delta OBP}$ 沿 $\mathit{PB}$ 折叠得到△ $O\text{'}\mathit{BP}$ ．

（1）如图1，若 $\angle O=75°$ ，且 $\mathit{BO}\text{'}$ 与 $\widehat{\mathit{AB}}$ 所在的圆相切于点 $B$ ．

①求 $\angle \mathit{APO}\text{'}$ 的度数．

②求 $\mathit{AP}$ 的长．

（2）如图2， $\mathit{BO}\text{'}$ 与 $\widehat{\mathit{AB}}$ 相交于点 $D$ ，若点 $D$ 为 $\widehat{\mathit{AB}}$ 的中点，且 $\mathit{PD}//\mathit{OB}$ ，求 $\widehat{\mathit{AB}}$ 的长．

如图， $\mathit{AC}$ 是 $\odot O$ 的直径， $\mathit{BC}$ ， $\mathit{BD}$ 是 $\odot O$ 的弦， $M$ 为 $\mathit{BC}$ 的中点， $\mathit{OM}$ 与 $\mathit{BD}$ 交于点 $F$ ，过点 $D$ 作 $\mathit{DE}\perp \mathit{BC}$ ，交 $\mathit{BC}$ 的延长线于点 $E$ ，且 $\mathit{CD}$ 平分 $\angle \mathit{ACE}$ ．

（1）求证： $\mathit{DE}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）求证： $\angle \mathit{CDE}=\angle \mathit{DBE}$ ；

（3）若 $\mathit{DE}=6$ ， $\tan \angle \mathit{CDE}=\frac{2}{3}$ ，求 $\mathit{BF}$ 的长．

如图， $\odot O$的半径为1，点 $A$是 $\odot O$的直径 $\mathit{BD}$延长线上的一点， $C$为 $\odot O$上的一点， $\mathit{AD}=\mathit{CD}$， $\angle A=30°$．

（1）求证：直线 $\mathit{AC}$是 $\odot O$的切线；

（2）求 $\mathit{\Delta ABC}$的面积；

（3）点 $E$在 $\stackrel{̂}{\mathit{BND}}$上运动（不与 $B$、 $D$重合），过点 $C$作 $\mathit{CE}$的垂线，与 $\mathit{EB}$的延长线交于点 $F$．

①当点 $E$运动到与点 $C$关于直径 $\mathit{BD}$对称时，求 $\mathit{CF}$的长；

②当点 $E$运动到什么位置时， $\mathit{CF}$取到最大值，并求出此时 $\mathit{CF}$的长．

如图， $\mathit{AB}$ 是半圆的直径， $C$ 为半圆的中点， $A(2,0)$ ， $B(0,1)$ ，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$ 的图象经过点 $C$ ，则 $k$ 的值为 　　．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$是 $\odot O$的内接三角形，点 $D$在 $\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$上，点 $E$在弦 $\mathit{AB}$上 $(E$不与 $A$重合），且四边形 $\mathit{BDCE}$为菱形．

（1）求证： $\mathit{AC}=\mathit{CE}$；

（2）求证： $B{C}^2-A{C}^2=\mathit{AB}·\mathit{AC}$；

（3）已知 $\odot O$的半径为3．

①若 $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{AC}}=\frac{5}{3}$，求 $\mathit{BC}$的长；

②当 $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{AC}}$为何值时， $\mathit{AB}·\mathit{AC}$的值最大？

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，点 $P$ 的坐标为 $(x_1$ ， $y_1)$ ，点 $Q$ 的坐标为 $(x_2$ ， $y_2)$ ，且 $x_1\ne x_2$ ， $y_1\ne y_2$ ，若 $P$ ， $Q$ 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点 $P$ ， $Q$ 的"相关矩形"，如图为点 $P$ ， $Q$ 的"相关矩形"示意图．

（1）已知点 $A$ 的坐标为 $(1,0)$ ，

①若点 $B$ 的坐标为 $(3,1)$ ，求点 $A$ ， $B$ 的"相关矩形"的面积；

②点 $C$ 在直线 $x=3$ 上，若点 $A$ ， $C$ 的"相关矩形"为正方形，求直线 $\mathit{AC}$ 的表达式；

（2） $\odot O$ 的半径为 $\sqrt{2}$ ，点 $M$ 的坐标为 $(m,3)$ ，若在 $\odot O$ 上存在一点 $N$ ，使得点 $M$ ， $N$ 的"相关矩形"为正方形，求 $m$ 的取值范围．

如图，等腰梯形ABCD中，AB＝CD，AD∥BC，点E、F在BC上，且BE＝CF．

（1）求证：AE＝DF；
（2）若AD＝EF，试证明四边形AEFD为矩形．