如图1,小明将一张直角梯形纸片沿虚线剪开,得到矩形和三角形两张纸片,测得AB=5,AD=4.在进行如下操作时遇到了下面的几个问题,请你帮助解决.
(1)将△EFG的顶点G移到矩形的顶点B处,再将三角形绕点B顺时针旋转使E点落在CD边上,此时,EF恰好经过点A(如图2),请你求出AE和FG的长度.
(2)在(1)的条件下,小明先将三角形的边EG和矩形边AB重合,然后将△EFG沿直线BC向右平移,至F点与B重合时停止.在平移过程中,设G点平移的距离为x,两纸片重叠部分面积为y,求在平移的整个过程中,y与x的函数关系式,并求当重叠部分面积为10时,平移距离x的值(如图3).
(3)在(2)的操作中,小明发现在平移过程中,虽然有时平移的距离不等,但两纸片重叠的面积却是相等的;而有时候平移的距离不等,两纸片重叠部分的面积也不可能相等.请探索这两种情况下重叠部分面积y的范围(直接写出结果).
如图,正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合,将正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移动,移动开始前点A与点F重合,在移动过程中,边AD始终与边FG重合,连接CG,过点A作CG的平行线交线段GH于点P,连接PD.已知正方形ABCD的边长为1cm,矩形EFGH的边FG,GH的长分别为4cm,3cm,设正方形移动时间为x(s),线段GP的长为y(cm),其中0≤x≤2.5.
(1)试求出y关于x的函数关系式,并求当y=3时相应x的值;
(2)记△DGP的面积为S1,△CDG的面积为S2.试说明S1-S2是常数;
(3)当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时,求线段PD的长.
下列图形都是由同样大小的矩形按一定规律组成,其中第(1)个图形的面积为2,第(2)个图形的面积为8,第(3)个图形的面积为18,……,则第(10)个图形的面积为( )
A.196 | B.200 | C.216 | D.256 |
正方形与扇形有公共顶点,分别以,所在直线为轴、轴建立平面直角坐标系.如图所示,正方形两个顶点、分别在轴、轴正半轴上移动,设,,
(1)当时,正方形与扇形不重合的面积是 ;此时直线对应的函数关系式是 ;
(2)当直线与扇形相切时.求直线对应的函数关系式;
(3)当正方形有顶点恰好落在弧上时,求正方形与扇形不重合的面积.
如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,且DE=,△ABF是△ADE的旋转图形
(1)旋转中心是哪一点?
(2)旋转了多少度?
(3)AF的长度是多少?
(4)如果连结EF,那么△AEF是怎样的三角形?
(1)如图①,在正方形ABCD中,△AEF的顶点E,F分别在BC,CD边上,高AG与正方形的边长相等,求的度数.
(2)如图②,在Rt△ABD中,,,点M,N是BD边上的任意两点,且,将△ABM绕点A逆时针旋转至△ADH位置,连接,试判断MN,ND,DH之间的数量关系,并说明理由.
(3)在图①中,连接BD分别交AE,AF于点M,N,若,,,求AG,MN的长.
正方形ABCD中,将一个直角三角板的直角顶点与点A重合,一条直角边与边BC交于点E(点E不与点B和点C重合),另一条直角边与边CD的延长线交于点F.
(1)如图①,求证:AE="AF;"
(2)如图②,此直角三角板有一个角是45°,它的斜边MN与边CD交于G,且点G是斜边MN的中点,连接EG,求证:EG="BE+DG;"
(3)在(2)的条件下,如果= ,那么点G是否一定是边CD的中点?请说明你的理由.
已知等腰梯形的上、下底分别为4cm、8cm,且其对角线互相垂直,那么它的面积为______;
如图,在菱形ABCD中,AC、BD交于点O,AC=12cm,BD=16cm。动点P在线段AB上,由B向A运动,速度为1cm/s,动点Q在线段OD上,由D向O运动,速度为1cm/s。过点Q作直线EF┴BD交AD于E,交CD于F,连接PF,设运动时间为t(0<t<8)。问
(1)何时四边形APFD为平行四边形?求出相应t的值;
(2)设四边形APFE面积为ycm2,求y与t的函数关系式;.
(3)是否存在某一时刻t,使S四边形APFE:S菱形ABCD=17:40?若存在,求出相应t的值,并求出,P、E两点间的距离,若不存在,说明理由。
如图,正方形A1B1B2C1,A2B2B3C2,A3B3B4C3,…,AnBnBn+1Cn,按如图所示放置,使点A1、A2、A3、…、An在射线OA上,点B1、B2、B3、…、Bn在射线OB上.若∠AOB=45°,OB1 =1,图中阴影部分三角形的面积由小到大依次记作S1,S2,S3,…,Sn,则Sn= .
如图,以点P为圆心的圆,交x轴于B、C两点(B在C的左侧),交y轴于A、D两点(A在D的下方),AD=,将△ABC绕点P旋转180°,得到△MCB.
(1)求B、C两点的坐标;
(2)请在图中画出线段MB、MC,并判断四边形ACMB的形状(不必证明),求出点M的坐标;
(3)动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转,到与BC重合时停止,设直线l与CM交点为E,点Q为BE的中点,过点E作EG⊥BC于G,连接MQ、QG.请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化?若不变,求出∠MQG的度数;若变化,请说明理由.
已知:如图,矩形ABCD中,CD=2,AD=3,以C点为圆心,作一个动圆,与线段AD交于点P(P和A、D不重合),过P作⊙C的切线交线段AB于F点.
(1)求证:△CDP∽△PAF;
(2)设DP=x,AF=y,求y关于x的函数关系式,及自变量x的取值范围;
(3)是否存在这样的点P,使△APF沿PF翻折后,点A落在BC上,请说明理由.
问题探究(本题10分):
(1)请在图①的正方形ABCD内,画出使∠APB=90°的一个点,并说明理由.
(2)请在图②的正方形ABCD内(含边),画出使∠APB=60°的所有的点P,
并说明理由.
问题解决:
(3)如图③,现在一块矩形钢板ABCD,AB=4,BC=3.工人师傅想用它
裁出两块全等的.面积最大的△APB和△CP'D钢板,且∠APB=∠CP'D=60°.
请你在图③中画出符合要求的点和P和P'.
(本题12分)如图,已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,AB=8,CD=10.
(1)求梯形ABCD的面积;
(2)动点P从点B出发,以2个单位/s的速度沿B→A→D→C方向向点C运动;动点Q从点C出发,以2个单位/s的速度沿C→D→A方向向点A运动;过点Q作QE⊥BC于点E.若P、Q两点同时出发,当其中一点到达终点时另一点也随之停止运动,设运动时间为t秒.问:
①当点P在B→A上运动时,是否存在这样的t,使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分?若存在,请求出t的值,并判断此时PQ是否平分梯形ABCD的面积;若不存在,请说明理由.
②在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由.