初中数学中点四边形试题

如图1，在四边形 $\mathit{ABCD}$中，如果对角线 $\mathit{AC}$和 $\mathit{BD}$相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形．

（1）①在“平行四边形、矩形、菱形”中，　    　一定是等角线四边形（填写图形名称）；

②若 $M$、 $N$、 $P$、 $Q$分别是等角线四边形 $\mathit{ABCD}$四边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$、 $\mathit{CD}$、 $\mathit{DA}$的中点，当对角线 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BD}$还要满足　　时，四边形 $\mathit{MNPQ}$是正方形．

（2）如图2，已知 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ABC}=90°$， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=3$， $D$为平面内一点．

①若四边形 $\mathit{ABCD}$是等角线四边形，且 $\mathit{AD}=\mathit{BD}$，则四边形 $\mathit{ABCD}$的面积是　 　；

②设点 $E$是以 $C$为圆心，1为半径的圆上的动点，若四边形 $\mathit{ABED}$是等角线四边形，写出四边形 $\mathit{ABED}$面积的最大值，并说明理由．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，分别取 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$， $\mathit{DA}$的中点 $E$， $F$， $G$， $H$，连接 $\mathit{EF}$， $\mathit{FG}$， $\mathit{GH}$， $\mathit{HE}$，求证：四边形 $\mathit{EFGH}$是菱形．

我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．已知四边形 $\mathit{ABCD}$的中点四边形是正方形，对角线 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$的关系，下列说法正确的是 $($　　 $)$

A． $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$相等且互相平分B． $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$垂直且互相平分

C． $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$相等且互相垂直D． $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$垂直且平分对角

我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．

（1）如图1，四边形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$， $F$， $G$， $H$分别为边 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$， $\mathit{DA}$的中点．求证：中点四边形 $\mathit{EFGH}$是平行四边形；

（2）如图2，点 $P$是四边形 $\mathit{ABCD}$内一点，且满足 $\mathit{PA}=\mathit{PB}$， $\mathit{PC}=\mathit{PD}$， $\angle \mathit{APB}=\angle \mathit{CPD}$，点 $E$， $F$， $G$， $H$分别为边 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$， $\mathit{DA}$的中点，猜想中点四边形 $\mathit{EFGH}$的形状，并证明你的猜想；

（3）若改变（2）中的条件，使 $\angle \mathit{APB}=\angle \mathit{CPD}=90°$，其他条件不变，直接写出中点四边形 $\mathit{EFGH}$的形状．（不必证明）

如图，点 $E$、 $F$、 $G$、 $H$分别为四边形 $\mathit{ABCD}$的四边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$、 $\mathit{CD}$、 $\mathit{DA}$的中点，则关于四边形 $\mathit{EFGH}$，下列说法正确的为 $($　　 $)$

A．一定不是平行四边形B．一定不是中心对称图形

C．可能是轴对称图形D．当 $\mathit{AC}=\mathit{BD}$时它是矩形

下列说法：

①四边相等的四边形一定是菱形

②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形

③对角线相等的四边形一定是矩形

④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分

其中正确的有 $($　　 $)$个．

A．4B．3C．2D．1

如图， $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$是四边形 $\mathit{ABCD}$的对角线，点 $E$， $F$分别是 $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$的中点，点 $M$， $N$分别是 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$的中点，连接 $\mathit{EM}$， $\mathit{MF}$， $\mathit{FN}$， $\mathit{NE}$，要使四边形 $\mathit{EMFN}$为正方形，则需添加的条件是 $($　　 $)$

A． $\mathit{AB}=\mathit{CD}$， $\mathit{AB}\perp \mathit{CD}$B． $\mathit{AB}=\mathit{CD}$， $\mathit{AD}=\mathit{BC}$C． $\mathit{AB}=\mathit{CD}$， $\mathit{AC}\perp \mathit{BD}$D． $\mathit{AB}=\mathit{CD}$， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$

如图1，已知点 $E$， $F$， $G$， $H$分别是四边形 $\mathit{ABCD}$各边 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$， $\mathit{DA}$的中点，根据以下思路可以证明四边形 $\mathit{EFGH}$是平行四边形：

（1）如图2，将图1中的点 $C$移动至与点 $E$重合的位置， $F$， $G$， $H$仍是 $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$， $\mathit{DA}$的中点，求证：四边形 $\mathit{CFGH}$是平行四边形；

（2）如图3，在边长为1的小正方形组成的 $5\times 5$网格中，点 $A$， $C$， $B$都在格点上，在格点上画出点 $D$，使点 $C$与 $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$， $\mathit{DA}$的中点 $F$， $G$， $H$组成正方形 $\mathit{CFGH}$；

（3）在（2）条件下求出正方形 $\mathit{CFGH}$的边长．

如图，已知点 $E$、 $F$、 $G$、 $H$分别是菱形 $\mathit{ABCD}$各边的中点，则四边形 $\mathit{EFGH}$是 $($　　 $)$

A．正方形B．矩形C．菱形D．平行四边形

如图， $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 分别是矩形 $\mathit{ABCD}$ 各边的中点， $\mathit{AB}=6$ ， $\mathit{BC}=8$ ，则四边形 $\mathit{EFGH}$ 的面积是 　           　．

如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是 $($　　 $)$

A．互相平分B．相等C．互相垂直D．互相垂直平分

如图，▱ ABCD中， AB＝2， AD＝4，对角线 AC， BD相交于点 O，且 E， F， G， H分别是 AO， BO， CO， DO的中点，则下列说法正确的是（　　）

A．	EH＝HG
B．	四边形EFGH是平行四边形
C．	AC⊥BD
D．	△ABO的面积是△EFO的面积的2倍

顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是 $($　　 $)$

A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形

如图，点 $E$、 $F$、 $G$、 $H$分别是四边形 $\mathit{ABCD}$边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$、 $\mathit{CD}$、 $\mathit{DA}$的中点．则下列说法：

①若 $\mathit{AC}=\mathit{BD}$，则四边形 $\mathit{EFGH}$为矩形；

②若 $\mathit{AC}\perp \mathit{BD}$，则四边形 $\mathit{EFGH}$为菱形；

③若四边形 $\mathit{EFGH}$是平行四边形，则 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$互相平分；

④若四边形 $\mathit{EFGH}$是正方形，则 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$互相垂直且相等．

其中正确的个数是 $($　　 $)$

A．1B．2C．3D．4

阅读下面材料：

在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？

小敏在思考问题是，有如下思路：连接AC．

结合小敏的思路作答

（1）若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题方法解决以下问题：

（2）如图2，在（1）的条件下，若连接AC，BD．

①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；

②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．