初中数学正方形的判定试题

如图，在△ ABC中，∠ BAC＝45°， AD⊥ BC于点 D， BD＝6， DC＝4，求 AD的长．小明同学利用翻折，巧妙地解答了此题，按小明的思路探究并解答下列问题：

（1）分别以 AB， AC所在直线为对称轴，画出△ ABD和△ ACD的对称图形，点 D的对称点分别为点 E， F，延长 EB和 FC相交于点 G，求证：四边形 AEGF是正方形；

（2）设 AD＝ x，建立关于 x的方程模型，求出 AD的长．

已知：如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$， $O$， $F$分别为 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$， $\mathit{AD}$的中点，连接 $\mathit{CE}$， $\mathit{CF}$， $\mathit{OE}$， $\mathit{OF}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta BCE}\cong \mathit{\Delta DCF}$；

（2）当 $\mathit{AB}$与 $\mathit{BC}$满足什么关系时，四边形 $\mathit{AEOF}$是正方形？请说明理由．

▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：　　，使得▱ABCD为正方形．

实践操作：

第一步：如图1，将矩形纸片 $\mathit{ABCD}$ 沿过点 $D$ 的直线折叠，使点 $A$ 落在 $\mathit{CD}$ 上的点 $A^{\text{'}}$ 处，得到折痕 $\mathit{DE}$ ，然后把纸片展平．

第二步：如图2，将图1中的矩形纸片 $\mathit{ABCD}$ 沿过点 $E$ 的直线折叠，点 $C$ 恰好落在 $\mathit{AD}$ 上的点 $C\text{'}$ 处，点 $B$ 落在点 $B^{\text{'}}$ 处，得到折痕 $\mathit{EF}$ ， $B^{\text{'}}C\text{'}$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $M$ ， $C\text{'}F$ 交 $\mathit{DE}$ 于点 $N$ ，再把纸片展平．

问题解决：

（1）如图1，填空：四边形 $\mathit{AE}{A}^{\text{'}}D$ 的形状是 　 　；

（2）如图2，线段 $\mathit{MC}\text{'}$ 与 $\mathit{ME}$ 是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；

（3）如图2，若 $\mathit{AC}\text{'}=2\mathit{cm}$ ， $D{C}^{\text{'}}=4\mathit{cm}$ ，求 $\mathit{DN}:\mathit{EN}$ 的值．

已知四边形 $\mathit{ABCD}$ 是平行四边形， $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ，下列结论错误的是 $($ 　　 $)$

A．	$\mathit{OA}=\mathit{OC}$ ， $\mathit{OB}=\mathit{OD}$
B．	当 $\mathit{AB}=\mathit{CD}$ 时，四边形 $\mathit{ABCD}$ 是菱形
C．	当 $\angle \mathit{ABC}=90°$ 时，四边形 $\mathit{ABCD}$ 是矩形
D．	当 $\mathit{AC}=\mathit{BD}$ 且 $\mathit{AC}\perp \mathit{BD}$ 时，四边形 $\mathit{ABCD}$ 是正方形

在菱形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$为对角线 $\mathit{BD}$上一点，点 $F$， $G$在直线 $\mathit{BC}$上，且 $\mathit{BE}=\mathit{EG}$， $\angle \mathit{AEF}=\angle \mathit{BEG}$．

（1）如图1，求证： $\mathit{\Delta ABE}\cong \mathit{\Delta FGE}$；

（2）如图2，当 $\angle \mathit{ABC}=120°$时，求证： $\mathit{AB}=\mathit{BE}+\mathit{BF}$；

（3）如图3，当 $\angle \mathit{ABC}=90°$，点 $F$在线段 $\mathit{BC}$上时，线段 $\mathit{AB}$， $\mathit{BE}$， $\mathit{BF}$的数量关系如何？（请直接写出你猜想的结论）

如图1， $\text{Rt}\Delta \text{ACB}$中， $\angle C=90°$，点 $D$在 $\mathit{AC}$上， $\angle \mathit{CBD}=\angle A$，过 $A$、 $D$两点的圆的圆心 $O$在 $\mathit{AB}$上．

（1）利用直尺和圆规在图1中画出 $\odot O$（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线条描清楚）；

（2）判断 $\mathit{BD}$所在直线与（1）中所作的 $\odot O$的位置关系，并证明你的结论；

（3）设 $\odot O$交 $\mathit{AB}$于点 $E$，连接 $\mathit{DE}$，过点 $E$作 $\mathit{EF}\perp \mathit{BC}$， $F$为垂足，若点 $D$是线段 $\mathit{AC}$的黄金分割点（即 $\frac{\mathit{DC}}{\mathit{AD}}=\frac{\mathit{AD}}{\mathit{AC}})$，如图2，试说明四边形 $\mathit{DEFC}$是正方形）．

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $M$ 、 $N$ 是 $\mathit{BD}$ 上两点， $\mathit{BM}=\mathit{DN}$ ，连接 $\mathit{AM}$ 、 $\mathit{MC}$ 、 $\mathit{CN}$ 、 $\mathit{NA}$ ，添加一个条件，使四边形 $\mathit{AMCN}$ 是矩形，这个条件是 $($ 　　 $)$

A．

$\mathit{OM}=\frac{1}{2}\mathit{AC}$

B．

$\mathit{MB}=\mathit{MO}$

C．

$\mathit{BD}\perp \mathit{AC}$

D．

$\angle \mathit{AMB}=\angle \mathit{CND}$

下列说法正确的是 $($　　 $)$

A．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形

B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形

C．对角线相等的四边形是矩形

D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

如图所示，已知平行四边形 $\mathit{ABCD}$，对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$相交于点 $O$， $\angle \mathit{OBC}=\angle \mathit{OCB}$．

（1）求证：平行四边形 $\mathit{ABCD}$是矩形；

（2）请添加一个条件使矩形 $\mathit{ABCD}$为正方形．

下列命题是真命题的是 $($ 　　 $)$

A．	对角线相等的四边形是矩形
B．	对角线互相垂直的四边形是矩形
C．	对角线互相垂直的矩形是正方形
D．	四边相等的平行四边形是正方形

一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：

$a$ ．两组对边分别相等

$b$ ．一组对边平行且相等

$c$ ．一组邻边相等

$d$ ．一个角是直角

顺次添加的条件：① $a\to c\to d$ ② $b\to d\to c$ ③ $a\to b\to c$

则正确的是 $($ 　　 $)$

A．

仅①

B．

仅③

C．

①②

D．

②③

下列说法：

①四边相等的四边形一定是菱形

②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形

③对角线相等的四边形一定是矩形

④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分

其中正确的有 $($　　 $)$个．

A．4B．3C．2D．1

矩形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$相交于点 $O$，请你添加一个适当的条件　　，使其成为正方形（只填一个即可）

如图，在中，，点在对角线上，，于点，的延长线交于点．点在的延长线上，且，连接．

（1）若，，求的长；

（2）求证：．