初中数学正方形的性质试题

如图所示，四边形 $\mathit{ABCD}$为正方形，在 $\mathit{\Delta ECH}$中， $\angle \mathit{ECH}=90°$， $\mathit{CE}=\mathit{CH}$， $\mathit{HE}$的延长线与 $\mathit{CD}$的延长线交于点 $F$，点 $D$、 $B$、 $H$在同一条直线上．

（1）求证： $\mathit{\Delta CDE}\cong \mathit{\Delta CBH}$；

（2）当 $\frac{\mathit{HB}}{\mathit{HD}}=\frac{1}{5}$时，求 $\frac{\mathit{FD}}{\mathit{FC}}$的值；

（3）当 $\mathit{HB}=3$， $\mathit{HG}=4$时，求 $\sin \angle \mathit{CFE}$的值．

在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．

（1） $\mathit{\Delta ABC}$ 是边长为3的等边三角形， $E$ 是边 $\mathit{AC}$ 上的一点，且 $\mathit{AE}=1$ ，小亮以 $\mathit{BE}$ 为边作等边三角形 $\mathit{BEF}$ ，如图1．求 $\mathit{CF}$ 的长；

（2） $\mathit{\Delta ABC}$ 是边长为3的等边三角形， $E$ 是边 $\mathit{AC}$ 上的一个动点，小亮以 $\mathit{BE}$ 为边作等边三角形 $\mathit{BEF}$ ，如图2．在点 $E$ 从点 $C$ 到点 $A$ 的运动过程中，求点 $F$ 所经过的路径长；

（3） $\mathit{\Delta ABC}$ 是边长为3的等边三角形， $M$ 是高 $\mathit{CD}$ 上的一个动点，小亮以 $\mathit{BM}$ 为边作等边三角形 $\mathit{BMN}$ ，如图3．在点 $M$ 从点 $C$ 到点 $D$ 的运动过程中，求点 $N$ 所经过的路径长；

（4）正方形 $\mathit{ABCD}$ 的边长为3， $E$ 是边 $\mathit{CB}$ 上的一个动点，在点 $E$ 从点 $C$ 到点 $B$ 的运动过程中，小亮以 $B$ 为顶点作正方形 $\mathit{BFGH}$ ，其中点 $F$ 、 $G$ 都在直线 $\mathit{AE}$ 上，如图4．当点 $E$ 到达点 $B$ 时，点 $F$ 、 $G$ 、 $H$ 与点 $B$ 重合．则点 $H$ 所经过的路径长为 　 　，点 $G$ 所经过的路径长为 　　．

已知四边形 $\mathit{ABCD}$ 是边长为1的正方形，点 $E$ 是射线 $\mathit{BC}$ 上的动点，以 $\mathit{AE}$ 为直角边在直线 $\mathit{BC}$ 的上方作等腰直角三角形 $\mathit{AEF}$ ， $\angle \mathit{AEF}=90°$ ，设 $\mathit{BE}=m$ ．

（1）如图，若点 $E$ 在线段 $\mathit{BC}$ 上运动， $\mathit{EF}$ 交 $\mathit{CD}$ 于点 $P$ ， $\mathit{AF}$ 交 $\mathit{CD}$ 于点 $Q$ ，连结 $\mathit{CF}$ ，

①当 $m=\frac{1}{3}$ 时，求线段 $\mathit{CF}$ 的长；

②在 $\mathit{\Delta PQE}$ 中，设边 $\mathit{QE}$ 上的高为 $h$ ，请用含 $m$ 的代数式表示 $h$ ，并求 $h$ 的最大值；

（2）设过 $\mathit{BC}$ 的中点且垂直于 $\mathit{BC}$ 的直线被等腰直角三角形 $\mathit{AEF}$ 截得的线段长为 $y$ ，请直接写出 $y$ 与 $m$ 的关系式．

【推理】

如图1，在正方形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $E$ 是 $\mathit{CD}$ 上一动点，将正方形沿着 $\mathit{BE}$ 折叠，点 $C$ 落在点 $F$ 处，连结 $\mathit{BE}$ ， $\mathit{CF}$ ，延长 $\mathit{CF}$ 交 $\mathit{AD}$ 于点 $G$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta BCE}\cong \mathit{\Delta CDG}$ ．

【运用】

（2）如图2，在【推理】条件下，延长 $\mathit{BF}$ 交 $\mathit{AD}$ 于点 $H$ ．若 $\frac{\mathit{HD}}{\mathit{HF}}=\frac{4}{5}$ ， $\mathit{CE}=9$ ，求线段 $\mathit{DE}$ 的长．

【拓展】

（3）将正方形改成矩形，同样沿着 $\mathit{BE}$ 折叠，连结 $\mathit{CF}$ ，延长 $\mathit{CF}$ ， $\mathit{BF}$ 交直线 $\mathit{AD}$ 于 $G$ ， $H$ 两点，若 $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{BC}}=k$ ， $\frac{\mathit{HD}}{\mathit{HF}}=\frac{4}{5}$ ，求 $\frac{\mathit{DE}}{\mathit{EC}}$ 的值（用含 $k$ 的代数式表示）．

如图，已知正方形 $\mathit{ABCD}$ ，点 $E$ 是 $\mathit{BC}$ 边上一点，将 $\mathit{\Delta ABE}$ 沿直线 $\mathit{AE}$ 折叠，点 $B$ 落在 $F$ 处，连接 $\mathit{BF}$ 并延长，与 $\angle \mathit{DAF}$ 的平分线相交于点 $H$ ，与 $\mathit{AE}$ ， $\mathit{CD}$ 分别相交于点 $G$ ， $M$ ，连接 $\mathit{HC}$ ．

（1）求证： $\mathit{AG}=\mathit{GH}$ ；

（2）若 $\mathit{AB}=3$ ， $\mathit{BE}=1$ ，求点 $D$ 到直线 $\mathit{BH}$ 的距离；

（3）当点 $E$ 在 $\mathit{BC}$ 边上（端点除外）运动时， $\angle \mathit{BHC}$ 的大小是否变化？为什么？

已知 $\mathit{\Delta ABC}$的三个顶点都是同一个正方形的顶点， $\angle \mathit{ABC}$的平分线与线段 $\mathit{AC}$交于点 $D$．若 $\mathit{\Delta ABC}$的一条边长为6，则点 $D$到直线 $\mathit{AB}$的距离为　　．

如图， $\mathit{BD}$是正方形 $\mathit{ABCD}$的一条对角线， $E$是 $\mathit{BD}$上一点， $F$是 $\mathit{CB}$延长线上一点，连接 $\mathit{CE}$， $\mathit{EF}$， $\mathit{AF}$．若 $\mathit{DE}=\mathit{DC}$， $\mathit{EF}=\mathit{EC}$，则 $\angle \mathit{BAF}$的度数为 　　．

如图，已知正方形 $\mathit{ABCD}$ 边长为1， $E$ 为 $\mathit{AB}$ 边上一点，以点 $D$ 为中心，将 $\mathit{\Delta DAE}$ 按逆时针方向旋转得 $\mathit{\Delta DCF}$ ，连接 $\mathit{EF}$ ，分别交 $\mathit{BD}$ ， $\mathit{CD}$ 于点 $M$ ， $N$ ．若 $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{DN}}=\frac{2}{5}$ ，则 $\sin \angle \mathit{EDM}=$ 　　．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$ 的边长为8，点 $M$ 在 $\mathit{DC}$ 上且 $\mathit{DM}=2$ ， $N$ 是 $\mathit{AC}$ 上的一动点，则 $\mathit{DN}+\mathit{MN}$ 的最小值是 　　．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$ 的边长为 $2\sqrt{5}$ ，点 $E$ 是 $\mathit{BC}$ 的中点，连接 $\mathit{AE}$ 与对角线 $\mathit{BD}$ 交于点 $G$ ，连接 $\mathit{CG}$ 并延长，交 $\mathit{AB}$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{DE}$ 交 $\mathit{CF}$ 于点 $H$ ，连接 $\mathit{AH}$ ．以下结论：① $\mathit{CF}\perp \mathit{DE}$ ；② $\frac{\mathit{CH}}{\mathit{HF}}=\frac{2}{3}$ ；③ $\mathit{GH}=\frac{2}{3}\sqrt{5}$ ；④ $\mathit{AD}=\mathit{AH}$ ，其中正确结论的序号是 　　．

如图， $\mathit{BD}$ 是正方形 $\mathit{ABCD}$ 的一条对角线， $E$ 是 $\mathit{BD}$ 上一点， $F$ 是 $\mathit{CB}$ 延长线上一点，连接 $\mathit{CE}$ ， $\mathit{EF}$ ， $\mathit{AF}$ ．若 $\mathit{DE}=\mathit{DC}$ ， $\mathit{EF}=\mathit{EC}$ ，则 $\angle \mathit{BAF}$ 的度数为 　　．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$ 的对角线 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}$ 交于点 $O$ ， $M$ 是边 $\mathit{AD}$ 上一点，连接 $\mathit{OM}$ ，过点 $O$ 作 $\mathit{ON}\perp \mathit{OM}$ ，交 $\mathit{CD}$ 于点 $N$ ．若四边形 $\mathit{MOND}$ 的面积是1，则 $\mathit{AB}$ 的长为 $($ 　　 $)$

A．

1

B．

$\sqrt{2}$

C．

2

D．

$2\sqrt{2}$

如图，点 $E$在正方形 $\mathit{ABCD}$边 $\mathit{AD}$上，点 $F$是线段 $\mathit{AB}$上的动点（不与点 $A$重合）， $\mathit{DF}$交 $\mathit{AC}$于点 $G$， $\mathit{GH}\perp \mathit{AD}$于点 $H$， $\mathit{AB}=1$， $\mathit{DE}=\frac{1}{3}$．

（1）求 $\tan \angle \mathit{ACE}$；

（2）设 $\mathit{AF}=x$， $\mathit{GH}=y$，试探究 $y$与 $x$的函数关系式（写出 $x$的取值范围）；

（3）当 $\angle \mathit{ADF}=\angle \mathit{ACE}$时，判断 $\mathit{EG}$与 $\mathit{AC}$的位置关系并说明理由．

如图，在边长为4的正方形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$是 $\mathit{BC}$的中点，点 $F$在 $\mathit{CD}$上，且 $\mathit{CF}=3\mathit{DF}$， $\mathit{AE}$， $\mathit{BF}$相交于点 $G$，则 $\mathit{\Delta AGF}$的面积是　　．

如图，将正方形纸片 $\mathit{ABCD}$ 沿 $\mathit{PQ}$ 折叠，使点 $C$ 的对称点 $E$ 落在边 $\mathit{AB}$ 上，点 $D$ 的对称点为点 $F$ ， $\mathit{EF}$ 交 $\mathit{AD}$ 于点 $G$ ，连接 $\mathit{CG}$ 交 $\mathit{PQ}$ 于点 $H$ ，连接 $\mathit{CE}$ ．下列四个结论中：① $\mathit{\Delta PBE}~\mathit{\Delta QFG}$ ；② $S_{\mathit{\Delta CEG}}=S_{\mathit{\Delta CBE}}+S_{\mathit{四边形}\mathit{CDQH}}$ ；③ $\mathit{EC}$ 平分 $\angle \mathit{BEG}$ ；④ $E{G}^2-C{H}^2=\mathit{GQ}\cdot \mathit{GD}$ ，正确的是 　　（填序号即可）．