初中数学勾股定理试题

如图， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径，弦 $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$，垂足为点 $P$，直线 $\mathit{BF}$与 $\mathit{AD}$的延长线交于点 $F$，且 $\angle \mathit{AFB}=\angle \mathit{ABC}$．

（1）求证：直线 $\mathit{BF}$是 $\odot O$的切线．

（2）若 $\mathit{CD}=2\sqrt{3}$， $\mathit{OP}=1$，求线段 $\mathit{BF}$的长．

在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{BC}=a$， $\mathit{AC}=b$， $\mathit{AB}=c$，若 $\angle C=90°$，如图1，则有 $a^2+b^2=c^2$；若 $\mathit{\Delta ABC}$为锐角三角形时，小明猜想： $a^2+b^2>c^2$，理由如下：如图2，过点 $A$作 $\mathit{AD}\perp \mathit{CB}$于点 $D$，设 $\mathit{CD}=x$．在 $\text{Rt}\Delta \text{ADC}$中， $A{D}^2=b^2-x^2$，在 $\text{Rt}\Delta \text{ADB}$中， $A{D}^2=c^2-{(a-x)}^2$

$\therefore a^2+b^2=c^2+2\mathit{ax}$

$\because a>0$， $x>0$

$\therefore 2\mathit{ax}>0$

$\therefore a^2+b^2>c^2$

$\therefore$当 $\mathit{\Delta ABC}$为锐角三角形时， $a^2+b^2>c^2$

所以小明的猜想是正确的．

（1）请你猜想，当 $\mathit{\Delta ABC}$为钝角三角形时， $a^2+b^2$与 $c^2$的大小关系．

（2）温馨提示：在图3中，作 $\mathit{BC}$边上的高．

（3）证明你猜想的结论是否正确．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$ 中．点 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ 分别是边 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{BC}$ 、 $\mathit{CD}$ 和 $\mathit{DA}$ 的中点，连接 $\mathit{EF}$ 、 $\mathit{FG}$ 、 $\mathit{GH}$ 和 $\mathit{HE}$ ．若 $\mathit{EH}=2\mathit{EF}$ ，则下列结论正确的是 $($ 　　 $)$

A．

$\mathit{AB}=\sqrt{2}\mathit{EF}$

B．

$\mathit{AB}=2\mathit{EF}$

C．

$\mathit{AB}=\sqrt{3}\mathit{EF}$

D．

$\mathit{AB}=\sqrt{5}\mathit{EF}$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=10$， $\angle B=60°$，点 $D$、 $E$分别在 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$上，且 $\mathit{BD}=\mathit{BE}=4$，将 $\mathit{\Delta BDE}$沿 $\mathit{DE}$所在直线折叠得到△ $B\text{'}\mathit{DE}$（点 $B\text{'}$在四边形 $\mathit{ADEC}$内），连接 $\mathit{AB}\text{'}$，则 $\mathit{AB}\text{'}$的长为　     　．

如图，在中，，是的外接圆，点在上，且，过点作的垂线，与的延长线相交于点，并与的延长线相交于点．

（1）求证：是的切线；

（2）若的半径，，求的长．

如图，在四边形中，，，连接．若，则四边形的面积为　　．

我国古代数学名著《孙子算经》有估算方法：“方五，邪（通“斜” 七．见方求邪，七之，五而一．”译文为：如果正方形的边长为五，则它的对角线长为七．已知正方形的边长，求对角线长，则先将边长乘以七再除以五．若正方形的边长为1，由勾股定理得对角线长为，依据《孙子算经》的方法，则它的对角线的长是　　．

如图， 在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle \mathit{ABC}=90°$ ， $\mathit{AB}=8$ ， $\mathit{BC}=6$ ． 若 $\mathit{DE}$ 是 $\mathit{\Delta ABC}$ 的中位线， 延长 $\mathit{DE}$ 交 $\mathit{\Delta ABC}$ 的外角 $\angle \mathit{ACM}$ 的平分线于点 $F$ ，则线段 $\mathit{DF}$ 的长为 $($ 　　 $)$

A．	A ． 7B ． 8C ． 9D ． 10

如图，将两个大小、形状完全相同的 $\mathit{\Delta ABC}$ 和△ $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ 拼在一起，其中点 $A\text{'}$ 与点 $A$ 重合，点 $C\text{'}$ 落在边 $\mathit{AB}$ 上，连接 $B\text{'}C$ ．若 $\angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{AC}\text{'}B\text{'}=90°$ ， $\mathit{AC}=\mathit{BC}=3$ ，则 $B\text{'}C$ 的长为 $($ 　　 $)$

A．

$3\sqrt{3}$

B．

6

C．

$3\sqrt{2}$

D．

$\sqrt{21}$

已知：如图，矩形 $\mathit{ABCD}$ 的对角线 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ， $\angle \mathit{BOC}=120°$ ， $\mathit{AB}=2$ ．

（1）求矩形对角线的长；

（2）过 $O$ 作 $\mathit{OE}\perp \mathit{AD}$ 于点 $E$ ，连结 $\mathit{BE}$ ．记 $\angle \mathit{ABE}=\alpha$ ，求 $\tan \alpha$ 的值．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，弦 $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$于点 $E$，若 $\mathit{AB}=8$， $\mathit{CD}=6$，则 $\mathit{BE}=$　　．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{BAC}=90°$ ， $\mathit{AB}=2\sqrt{2}$ ， $\mathit{AC}=6$ ，点 $E$ 在线段 $\mathit{AC}$ 上，且 $\mathit{AE}=1$ ， $D$ 是线段 $\mathit{BC}$ 上的一点，连接 $\mathit{DE}$ ，把四边形 $\mathit{ABDE}$ 沿直线 $\mathit{DE}$ 翻折，得到四边形 $F\mathit{GDE}$ ，当点 $G$ 恰好落在线段 $\mathit{AC}$ 上时， $\mathit{AF}=$ 　　．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ，以 $\mathit{AB}$ 为直径的 $\odot O$ 与 $\mathit{BC}$ 相交于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $\odot O$ 的切线交 $\mathit{AC}$ 于点 $E$ ．

（1）求证： $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$ ；

（2）若 $\odot O$ 的半径为5， $\mathit{BC}=16$ ，求 $\mathit{DE}$ 的长．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中，过点 $B$作 $\mathit{BE}\perp \mathit{AD}$， $\mathit{BF}\perp \mathit{CD}$，垂足分别为点 $E$， $F$，延长 $\mathit{BD}$至 $G$，使得 $\mathit{DG}=\mathit{BD}$，连接 $\mathit{EG}$， $\mathit{FG}$，若 $\mathit{AE}=\mathit{DE}$，则 $\frac{\mathit{EG}}{\mathit{AB}}=$　　．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{BC}=8$， $O$是 $\mathit{AB}$上一点， $\mathit{AO}=\mathit{BO}$，点 $M$是射线 $\mathit{CO}$上的一个动点， $\angle \mathit{AOC}=60°$，则当 $\mathit{\Delta ABM}$为直角三角形时， $\mathit{AM}$的长为　　．