初中数学等边三角形的性质解答题

如图1，经过等边的顶点，（圆心在内），分别与，的延长线交于点，，连结，交于点．

（1）求证：．

（2）当，时，求的长．

（3）设，．

①求关于的函数表达式；

②如图2，连结，，若的面积是面积的10倍，求的值．

如图，已知是的直径，是上的点，点在的延长线上，．

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求图中阴影部分的面积．

请阅读下列材料，并完成相应的任务：

阿基米德折弦定理

阿基米德 $(\mathit{archimedes}$ ，公元前 $287-$ 公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．

阿拉伯 $\mathit{Al}-\mathit{Binmi}(973-1050$ 年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据 $\mathit{Al}-\mathit{Binmi}$ 译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．

阿基米德折弦定理：如图1， $\mathit{AB}$ 和 $\mathit{BC}$ 是 $\odot O$ 的两条弦（即折线 $\mathit{ABC}$ 是圆的一条折弦）， $\mathit{BC}>\mathit{AB}$ ， $M$ 是 $\stackrel{̂}{\mathit{ABC}}$ 的中点，则从 $M$ 向 $\mathit{BC}$ 所作垂线的垂足 $D$ 是折弦 $\mathit{ABC}$ 的中点，即 $\mathit{CD}=\mathit{AB}+\mathit{BD}$ ．下面是运用"截长法"证明 $\mathit{CD}=\mathit{AB}+\mathit{BD}$ 的部分证明过程．证明：如图2，在 $\mathit{CB}$ 上截取 $\mathit{CG}=\mathit{AB}$ ，连接 $\mathit{MA}$ ， $\mathit{MB}$ ， $\mathit{MC}$ 和 $\mathit{MG}$ ．

$\because M$ 是 $\stackrel{̂}{\mathit{ABC}}$ 的中点，

$\therefore \mathit{MA}=\mathit{MC}$ ．

$\dots$

任务：

（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

（2）填空：如图3，已知等边 $\mathit{\Delta ABC}$ 内接于 $\odot O$ ， $\mathit{AB}=2$ ， $D$ 为 $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}$ 上一点， $\angle \mathit{ABD}=45°$ ， $\mathit{AE}\perp \mathit{BD}$ 于点 $E$ ，则 $\mathit{\Delta BDC}$ 的周长是 　 ．

问题提出

（1）如图①，是等边三角形，，若点是的内心，则的长为　　；

问题探究

（2）如图②，在矩形中，，，如果点是边上一点，且，那么边上是否存在一点，使得线段将矩形的面积平分？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．

问题解决

（3）某城市街角有一草坪，草坪是由草地和弦与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于（即每次喷灌时喷灌龙头由转到，然后再转回，这样往复喷灌．同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．

如图③，已测出，，的面积为；过弦的中点作交于点，又测得．

请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）

（1）如图①，点是外一点，点是上一动点．若的半径为3，且，则点到点的最短距离为　 ；

（2）如图②，已知正方形的边长为4，点、分别从点、同时出发，以相同的速度沿边、方向向终点和运动，连接和交于点，则点到点的最短距离为　　；

（3）如图③，在等边中，，点、分别从点、同时出发，以相同的速度沿边、方向向终点和运动，连接和交于点，求面积的最大值，并说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，，，连接，以为边向上作等边三角形．

（1）求点的坐标；

（2）求线段所在直线的解析式．

在中，，．点是平面内不与点，重合的任意一点．连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，．

（1）观察猜想

如图1，当时，的值是　　，直线与直线相交所成的较小角的度数是　　．

（2）类比探究

如图2，当时，请写出的值及直线与直线相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由．

（3）解决问题

当时，若点，分别是，的中点，点在直线上，请直接写出点，，在同一直线上时的值．

探究

（1）如图①，在等腰直角三角形中，，作平分交于点，点为射线上一点，以点为旋转中心将线段逆时针旋转得到线段，连接交射线于点，连接、

填空：

①线段、的数量关系为　　．

②线段、的位置关系为　　．

推广：

（2）如图②，在等腰三角形中，顶角，作平分交于点，点为外部射线上一点，以点为旋转中心将线段逆时针旋转度得到线段，连接、、请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由．

应用：

（3）如图③，在等边三角形中，．作平分交于点，点为射线上一点，以点为旋转中心将线段逆时针旋转得到线段，连接交射线于点，连接、．当以、、为顶点的三角形与全等时，请直接写出的值．

如图，在等边三角形中，，点，分别是边，的中点，点，同时沿射线的方向以相同的速度运动，某一时刻分别运动到点，处，连接，，，．

（1）写出图1中的一对全等三角形；

（2）如图2所示，当点在线段延长线上时，画出示意图，判断（1）中所写的一对三角形是否仍然全等，并说明理由；

（3）在点运动的过程中，若是直角三角形，直接写出此时线段的长度．

（1）发现：如图1，点 $A$ 为线段 $\mathit{BC}$ 外一动点，且 $\mathit{BC}=a$ ， $\mathit{AB}=b$ ．

填空：当点 $A$ 位于 　　时，线段 $\mathit{AC}$ 的长取得最大值，且最大值为 　　（用含 $a$ ， $b$ 的式子表示）

（2）应用：点 $A$ 为线段 $\mathit{BC}$ 外一动点，且 $\mathit{BC}=3$ ， $\mathit{AB}=1$ ，如图2所示，分别以 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{AC}$ 为边，作等边三角形 $\mathit{ABD}$ 和等边三角形 $\mathit{ACE}$ ，连接 $\mathit{CD}$ ， $\mathit{BE}$ ．

①请找出图中与 $\mathit{BE}$ 相等的线段，并说明理由；

②直接写出线段 $\mathit{BE}$ 长的最大值．

（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点 $A$ 的坐标为 $(2,0)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(5,0)$ ，点 $P$ 为线段 $\mathit{AB}$ 外一动点，且 $\mathit{PA}=2$ ， $\mathit{PM}=\mathit{PB}$ ， $\angle \mathit{BPM}=90°$ ，请直接写出线段 $\mathit{AM}$ 长的最大值及此时点 $P$ 的坐标．

请阅读下列材料：若是关于的一元二次方程的两个根，则方程的两个根和系数有如下关系：． 我们把它们称为根与系数关系定理．
如果设二次函数的图象与x轴的两个交点．利用根与系数关系定理我们又可以得到A、B两个交点间的距离为：

请你参考以上定理和结论，解答下列问题：
设二次函数的图象与x轴的两个交点为，抛物线的顶点为，显然为等腰三角形。
（1）当为等腰直角三角形时，求的值，
（2）当为等边三角形时，求的值，
（3）设抛物线与轴的两个交点为、，顶点为，且，试问如何平移此抛物线，才能使？