初中数学等边三角形的性质试题

以正方形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AD}$作等边 $\mathit{\Delta ADE}$，则 $\angle \mathit{BEC}$的度数是　        　．

在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle B+\angle D=180°$，对角线 $\mathit{AC}$平分 $\angle \mathit{BAD}$．

（1）如图1，若 $\angle \mathit{DAB}=120°$，且 $\angle B=90°$，试探究边 $\mathit{AD}$、 $\mathit{AB}$与对角线 $\mathit{AC}$的数量关系并说明理由．

（2）如图2，若将（1）中的条件“ $\angle B=90°$”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由．

（3）如图3，若 $\angle \mathit{DAB}=90°$，探究边 $\mathit{AD}$、 $\mathit{AB}$与对角线 $\mathit{AC}$的数量关系并说明理由．

如图， $P(m,m)$是反比例函数 $y=\frac{9}{x}$在第一象限内的图象上一点，以 $P$为顶点作等边 $\mathit{\Delta PAB}$，使 $\mathit{AB}$落在 $x$轴上，则 $\mathit{\Delta POB}$的面积为 $($　　 $)$

A． $\frac{9}{2}$B． $3\sqrt{3}$C． $\frac{9+12\sqrt{3}}{4}$D． $\frac{9+3\sqrt{3}}{2}$

如图， $P(m,m)$是反比例函数 $y=\frac{9}{x}$在第一象限内的图象上一点，以 $P$为顶点作等边 $\mathit{\Delta PAB}$，使 $\mathit{AB}$落在 $x$轴上，则 $\mathit{\Delta POB}$的面积为 $($　　 $)$

A． $\frac{9}{2}$B． $3\sqrt{3}$C． $\frac{9+12\sqrt{3}}{4}$D． $\frac{9+3\sqrt{3}}{2}$

已知：如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，等边 $\mathit{\Delta AOB}$的边长为6，点 $C$在边 $\mathit{OA}$上，点 $D$在边 $\mathit{AB}$上，且 $\mathit{OC}=3\mathit{BD}$，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$的图象恰好经过点 $C$和点 $D$，则 $k$的值为 $($　　 $)$

A． $\frac{81\sqrt{3}}{25}$B． $\frac{81\sqrt{3}}{16}$C． $\frac{81\sqrt{3}}{5}$D． $\frac{81\sqrt{3}}{4}$

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$的外侧，作等边 $\mathit{\Delta ADE}$，则 $\angle \mathit{BED}$的度数是　    　．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$、 $\mathit{\Delta CDE}$均为等边三角形，连接 $\mathit{BD}$、 $\mathit{AE}$交于点 $O$， $\mathit{BC}$与 $\mathit{AE}$交于点 $P$．求证： $\angle \mathit{AOB}=60°$．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta CDE}$都是等边三角形，点 $B$、 $C$、 $E$三点在同一直线上，连接 $\mathit{BD}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{BD}$交 $\mathit{AC}$于点 $F$．

（1）若 $A{D}^2=\mathit{DF}·\mathit{DB}$，求证： $\mathit{AD}=\mathit{BF}$；

（2）若 $\angle \mathit{BAD}=90°$， $\mathit{BE}=6$．

①求 $\tan \angle \mathit{DBE}$的值；②求 $\mathit{DF}$的长．

如图，点 $P$、 $Q$分别是等边 $\mathit{\Delta ABC}$边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$上的动点（端点除外），点 $P$、点 $Q$以相同的速度，同时从点 $A$、点 $B$出发．

（1）如图1，连接 $\mathit{AQ}$、 $\mathit{CP}$．求证： $\mathit{\Delta ABQ}\cong \mathit{\Delta CAP}$；

（2）如图1，当点 $P$、 $Q$分别在 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$边上运动时， $\mathit{AQ}$、 $\mathit{CP}$相交于点 $M$， $\angle \mathit{QMC}$的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；

（3）如图2，当点 $P$、 $Q$在 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$的延长线上运动时，直线 $\mathit{AQ}$、 $\mathit{CP}$相交于 $M$， $\angle \mathit{QMC}$的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．

如图，直线 $a//b$， $\mathit{\Delta ABC}$的顶点 $C$在直线 $b$上，边 $\mathit{AB}$与直线 $b$相交于点 $D$．若 $\mathit{\Delta BCD}$是等边三角形， $\angle A=20°$，则 $\angle 1=$　       　 $°$．

在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=4$， $\angle C=60°$， $\angle A>\angle B$，则 $\mathit{BC}$的长的取值范围是　       　．

如图，已知等边 $\mathit{\Delta ABC}$的边长是2，以 $\mathit{BC}$边上的高 $A{B}_1$为边作等边三角形，得到第一个等边△ $A{B}_1{C}_1$；再以等边△ $A{B}_1{C}_1$的 $B_1{C}_1$边上的高 $A{B}_2$为边作等边三角形，得到第二个等边△ $A{B}_2{C}_2$；再以等边△ $A{B}_2{C}_2$的 $B_2{C}_2$边上的高 $A{B}_3$为边作等边三角形，得到第三个等边△ $A{B}_3{C}_3$； $\dots \dots$．记△ $B_{1}C{B}_2$面积为 $S_1$，△ $B_2{C}_1{B}_3$面积为 $S_2$，△ $B_3{C}_2{B}_4$面积为 $S_3$，则 $S_n=$　　．

如图，等边 $\mathit{\Delta ABC}$的边长为2， $\odot A$的半径为1， $D$是 $\mathit{BC}$上的动点， $\mathit{DE}$与 $\odot A$相切于 $E$， $\mathit{DE}$的最小值是 $($　　 $)$

A．1B． $\sqrt{2}$C． $\sqrt{3}$D．2

如图，分别以等边三角形 $\mathit{ABC}$的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若 $\mathit{AB}=2$，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为 $($　　 $)$

A． $\pi +\sqrt{3}$B． $\pi -\sqrt{3}$C． $2\pi -\sqrt{3}$D． $2\pi -2\sqrt{3}$

如图1，2，3分别以 $\mathit{\Delta ABC}$的 $\mathit{AB}$和 $\mathit{AC}$为边向 $\mathit{\Delta ABC}$外作正三角形（等边三角形）、正四边形（正方形）、正五边形， $\mathit{BE}$和 $\mathit{CD}$相交于点 $O$．

（1）在图1中，求证： $\mathit{\Delta ABE}\cong \mathit{\Delta ADC}$．

（2）由（1）证得 $\mathit{\Delta ABE}\cong \mathit{\Delta ADC}$，由此可推得在图1中 $\angle \mathit{BOC}=120°$，请你探索在图2中， $\angle \mathit{BOC}$的度数，并说明理由或写出证明过程．

（3）填空：在上述（1）（2）的基础上可得在图3中 $\angle \mathit{BOC}=$　     　（填写度数）．

（4）由此推广到一般情形（如图4），分别以 $\mathit{\Delta ABC}$的 $\mathit{AB}$和 $\mathit{AC}$为边向 $\mathit{\Delta ABC}$外作正 $n$边形， $\mathit{BE}$和 $\mathit{CD}$仍相交于点 $O$，猜想得 $\angle \mathit{BOC}$的度数为　    　（用含 $n$的式子表示）．