初中数学等边三角形的性质试题

如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路，为小路端点）和一棵小树为小树位置）．测得的相关数据为：，，米，则　　米．

如图，是等边三角形外一点．若，，连接，则的最大值与最小值的差为　　．

已知等边三角形一边上的高为 $2\sqrt{3}$ ，则它的边长为 $($ 　　 $)$

A．

2

B．

3

C．

4

D．

$4\sqrt{3}$

如图1，和都是等边三角形．

探究发现

（1）与是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由．

拓展运用

（2）若、、三点不在一条直线上，，，，求的长．

（3）若、、三点在一条直线上（如图，且和的边长分别为1和2，求的面积及的长．

如图，是的内接正三角形，点是圆心，点，分别在边，上，若，则的度数是　 　度．

如图，等边中，，点，点分别是边，上的动点，且，连接、交于点，当点从点运动到点时，则点的运动路径的长度为　　．

如图， $\odot O$ 为等边 $\mathit{\Delta ABC}$ 的外接圆，半径为2，点 $D$ 在劣弧 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$ 上运动（不与点 $A$ ， $B$ 重合），连接 $\mathit{DA}$ ， $\mathit{DB}$ ， $\mathit{DC}$ ．

（1）求证： $\mathit{DC}$ 是 $\angle \mathit{ADB}$ 的平分线；

（2）四边形 $\mathit{ADBC}$ 的面积 $S$ 是线段 $\mathit{DC}$ 的长 $x$ 的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；

（3）若点 $M$ ， $N$ 分别在线段 $\mathit{CA}$ ， $\mathit{CB}$ 上运动（不含端点），经过探究发现，点 $D$ 运动到每一个确定的位置， $\mathit{\Delta DMN}$ 的周长有最小值 $t$ ，随着点 $D$ 的运动， $t$ 的值会发生变化，求所有 $t$ 值中的最大值．

问题背景：如图1，将绕点逆时针旋转得到，与交于点，可推出结论：．

问题解决：如图2，在中，，，．点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是　　．

如图1，中，，，为内一点，将绕点按逆时针方向旋转角得到，点，的对应点分别为点，，且，，三点在同一直线上．

（1）填空：　　（用含的代数式表示）；

（2）如图2，若，请补全图形，再过点作于点，然后探究线段，，之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）若，，且点满足，，直接写出点到的距离．

如图，是的直径，点为上一点，点是半径上一动点（不与，重合），过点作射线，分别交弦，于，两点，在射线上取点，使．

（1）求证：是的切线；

（2）当点是的中点时，

①若，判断以，，，为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；

②若，且，求的长．

如图，等边三角形的边长为2，以为圆心，1为半径作圆分别交，边于，，再以点为圆心，长为半径作圆交边于，连接，，那么图中阴影部分的面积为　　．

如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与等边三角形的边，分别交于点，，且，若，那么点的横坐标为　　．

如图，在平面直角坐标系中，点 $A_1$ 、 $A_2$ 、 $A_3\dots A_n$ 在 $x$ 轴上， $B_1$ 、 $B_2$ 、 $B_3\dots B_n$ 在直线 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$ 上，若 $A_1(1,0)$ ，且△ $A_1{B}_1{A}_2$ 、△ $A_2{B}_2{A}_3\dots$ △ $A_n{B}_n{A}_{n+1}$ 都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为 $S_1$ 、 $S_2$ 、 $S_3\dots S_n$ ．则 $S_n$ 可表示为 $($ 　　 $)$

A．

$2^{2n}\sqrt{3}$

B．

$2^{2n-1}\sqrt{3}$

C．

$2^{2n-2}\sqrt{3}$

D．

$2^{2n-3}\sqrt{3}$

如图，将等边放在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在第一象限，将等边绕点顺时针旋转得到△，则点的坐标是　         ．

如图，边长为 $2\sqrt{3}$ 的等边 $\mathit{\Delta ABC}$ 的内切圆的半径为 $($ 　　 $)$

A．

1

B．

$\sqrt{3}$

C．

2

D．

$2\sqrt{3}$