初中数学等腰三角形的性质试题

如图，已知 $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $P$是 $\mathit{BA}$延长线上一点， $\mathit{PC}$切 $\odot O$于点 $C$， $\mathit{CG}$是 $\odot O$的弦， $\mathit{CG}\perp \mathit{AB}$，垂足为 $D$．

（1）求证： $\angle \mathit{PCA}=\angle \mathit{ABC}$．

（2）过点 $A$作 $\mathit{AE}//\mathit{PC}$交 $\odot O$于点 $E$，交 $\mathit{CD}$于点 $F$，连接 $\mathit{BE}$，若 $\cos \angle P=\frac{4}{5}$， $\mathit{CF}=10$，求 $\mathit{BE}$的长．

《淮南子 $?$ 天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点 $A$ 处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点 $B$ ，使 $B$ ， $A$ 两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点 $B$ 处立一根杆；日落时，在地面上沿着点 $B$ 处的杆的影子的方向取一点 $C$ ，使 $C$ ， $B$ 两点间的距离为10步，在点 $C$ 处立一根杆．取 $\mathit{CA}$ 的中点 $D$ ，那么直线 $\mathit{DB}$ 表示的方向为东西方向．

（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点 $A$ ， $B$ ， $C$ 的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作 $\mathit{CA}$ 的中点 $D$ （保留作图痕迹）；

（2）在如图中，确定了直线 $\mathit{DB}$ 表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线 $\mathit{CA}$ 表示的方向为南北方向，完成如下证明．

证明：在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{BA}=$ 　 　， $D$ 是 $\mathit{CA}$ 的中点，

$\therefore \mathit{CA}\perp \mathit{DB}($ 　　 $)$ （填推理的依据）．

$\because$ 直线 $\mathit{DB}$ 表示的方向为东西方向，

$\therefore$ 直线 $\mathit{CA}$ 表示的方向为南北方向．

等腰三角形的一个底角为 $50°$，则它的顶角的度数为　　．

如图， $\mathit{AB}$是半圆 $O$的直径， $C$， $D$是半圆 $O$上不同于 $A$， $B$的两点， $\mathit{AD}=\mathit{BC}$， $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$相交于点 $F$． $\mathit{BE}$是半圆 $O$所在圆的切线，与 $\mathit{AC}$的延长线相交于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{\Delta CBA}\cong \mathit{\Delta DAB}$；

（2）若 $\mathit{BE}=\mathit{BF}$，求证： $\mathit{AC}$平分 $\angle \mathit{DAB}$．

$\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{PA}$切 $\odot O$于点 $A$， $\mathit{PO}$交 $\odot O$于点 $C$；连接 $\mathit{BC}$，若 $\angle P=40°$，则 $\angle B$等于 $($　　 $)$

A． $20°$B． $25°$C． $30°$D． $40°$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ， $\angle C=70°$ ，分别以点 $A$ ， $B$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2}\mathit{AB}$ 的长为半径作弧，两弧相交于 $M$ ， $N$ 两点，作直线 $\mathit{MN}$ 交 $\mathit{AC}$ 于点 $D$ ，连接 $\mathit{BD}$ ，则 $\angle \mathit{BDC}=$

　　 $°$ ．

将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点 $D$在 $\mathit{AB}$边上， $\mathit{\Delta DEF}$绕点 $D$旋转，腰 $\mathit{DF}$和底边 $\mathit{DE}$分别交 $\mathit{\Delta CAB}$的两腰 $\mathit{CA}$， $\mathit{CB}$于 $M$， $N$两点，若 $\mathit{CA}=5$， $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AD}:\mathit{AB}=1:3$，则 $\mathit{MD}+\frac{12}{\mathit{MA}·\mathit{DN}}$的最小值为　　．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{BC}=\sqrt{3}$， $\angle \mathit{BAC}=30°$，分别以点 $A$， $C$为圆心， $\mathit{AC}$的长为半径作弧，两弧交于点 $D$，连接 $\mathit{DA}$， $\mathit{DC}$，则四边形 $\mathit{ABCD}$的面积为 $($　　 $)$

A． $6\sqrt{3}$B．9C．6D． $3\sqrt{3}$

已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为（　　）

A．9B．17或22C．17D．22

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$ 为平行四边形，连接 $\mathit{AC}$ ，且 $\mathit{AC}=2\mathit{AB}$ ．请用尺规完成基本作图：作出 $\angle \mathit{BAC}$ 的角平分线与 $\mathit{BC}$ 交于点 $E$ ．连接 $\mathit{BD}$ 交 $\mathit{AE}$ 于点 $F$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $O$ ，猜想线段 $\mathit{BF}$ 和线段 $\mathit{DF}$ 的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\mathit{AC}<\mathit{BC}$ ．分别以点 $A$ ， $B$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2}\mathit{AB}$ 的长为半径画弧，两弧交于 $D$ ， $E$ 两点，直线 $\mathit{DE}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{AF}$ ．以点 $A$ 为圆心， $\mathit{AF}$ 为半径画弧，交 $\mathit{BC}$ 延长线于点 $H$ ，连接 $\mathit{AH}$ ．若 $\mathit{BC}=3$ ，则 $\mathit{\Delta AFH}$ 的周长为 　　．

如图，在正五边形 $\mathit{ABCDE}$ 中，连结 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}$ 交于点 $F$ ，则 $\angle \mathit{AFB}$ 的度数为 　　．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\mathit{\Delta DBC}$和 $\mathit{\Delta ABC}$关于直线 $\mathit{BC}$对称，连接 $\mathit{AD}$，与 $\mathit{BC}$相交于点 $O$，过点 $C$作 $\mathit{CE}\perp \mathit{CD}$，垂足为 $C$， $\mathit{AD}$相交于点 $E$，若 $\mathit{AD}=8$， $\mathit{BC}=6$，则 $\frac{2\mathit{OE}+\mathit{AE}}{\mathit{BD}}$的值为 $($　　 $)$

A． $\frac{4}{3}$B． $\frac{3}{4}$C． $\frac{5}{3}$D． $\frac{5}{4}$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\angle C=65°$，点 $D$是 $\mathit{BC}$边上任意一点，过点 $D$作 $\mathit{DF}//\mathit{AB}$交 $\mathit{AC}$于点 $E$，则 $\angle \mathit{FEC}$的度数是 $($　　 $)$

A． $120°$B． $130°$C． $145°$D． $150°$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，以点 $B$为圆心， $\mathit{BC}$长为半径画弧，交线段 $\mathit{AB}$于点 $D$；以点 $A$为圆心， $\mathit{AD}$长为半径画弧，交线段 $\mathit{AC}$于点 $E$，连接 $\mathit{CD}$．

（1）若 $\angle A=28°$，求 $\angle \mathit{ACD}$的度数．

（2）设 $\mathit{BC}=a$， $\mathit{AC}=b$．

①线段 $\mathit{AD}$的长是方程 $x^2+2\mathit{ax}-b^2=0$的一个根吗？说明理由．

②若 $\mathit{AD}=\mathit{EC}$，求 $\frac{a}{b}$的值．