初中数学三角形的面积试题

如图， $\odot O$的半径 $\mathit{OD}$垂直于弦 $\mathit{AB}$，垂足为点 $C$，连接 $\mathit{AO}$并延长交 $\odot O$于点 $E$，连接 $\mathit{BE}$， $\mathit{CE}$．若 $\mathit{AB}=8$， $\mathit{CD}=2$，则 $\mathit{\Delta BCE}$的面积为 $($　　 $)$

A．12B．15C．16D．18

如图，三角形纸片 $\mathit{ABC}$，点 $D$是 $\mathit{BC}$边上一点，连接 $\mathit{AD}$，把 $\mathit{\Delta ABD}$沿着 $\mathit{AD}$翻折，得到 $\mathit{\Delta AED}$， $\mathit{DE}$与 $\mathit{AC}$交于点 $G$，连接 $\mathit{BE}$交 $\mathit{AD}$于点 $F$．若 $\mathit{DG}=\mathit{GE}$， $\mathit{AF}=3$， $\mathit{BF}=2$， $\mathit{\Delta ADG}$的面积为2，则点 $F$到 $\mathit{BC}$的距离为 $($　　 $)$

A． $\frac{\sqrt{5}}{5}$B． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$C． $\frac{4\sqrt{5}}{5}$D． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$

如图， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$， $\mathit{BC}=6$， $\mathit{AC}=8$， $D$、 $E$分别为 $\mathit{AC}$、 $\mathit{AB}$的中点，连接 $\mathit{DE}$，则 $\mathit{\Delta ADE}$的面积是　．

如图， $\mathit{DE}$ 是 $\mathit{\Delta ABC}$ 的中位线， $F$ 为 $\mathit{DE}$ 中点，连接 $\mathit{AF}$ 并延长交 $\mathit{BC}$ 于点 $G$ ，若 $S_{\mathit{\Delta EFG}}=1$ ，则 $S_{\mathit{\Delta ABC}}=$ 　　．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AD}$， $\mathit{AC}=5$， $\angle \mathit{DAB}=\angle \mathit{DCB}=90°$，则四边形 $\mathit{ABCD}$的面积为 $($　　 $)$

A．15B．12.5C．14.5D．17

在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\mathit{CG}\perp \mathit{BA}$交 $\mathit{BA}$的延长线于点 $G$．

特例感知：

（1）将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为 $F$，一条直角边与 $\mathit{AC}$重合，另一条直角边恰好经过点 $B$．通过观察、测量 $\mathit{BF}$与 $\mathit{CG}$的长度，得到 $\mathit{BF}=\mathit{CG}$．请给予证明．

猜想论证：

（2）当三角尺沿 $\mathit{AC}$方向移动到图2所示的位置时，一条直角边仍与 $\mathit{AC}$边重合，另一条直角边交 $\mathit{BC}$于点 $D$，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{BA}$垂足为 $E$．此时请你通过观察、测量 $\mathit{DE}$、 $\mathit{DF}$与 $\mathit{CG}$的长度，猜想并写出 $\mathit{DE}$、 $\mathit{DF}$与 $\mathit{CG}$之间存在的数量关系，并证明你的猜想．

联系拓展：

（3）当三角尺在图2的基础上沿 $\mathit{AC}$方向继续移动到图3所示的位置（点 $F$在线段 $\mathit{AC}$上，且点 $F$与点 $C$不重合）时，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立？（不用证明）

$\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ABC}=90°$， $\mathit{AB}=3$， $\mathit{BC}=4$，过点 $B$的直线把 $\mathit{\Delta ABC}$分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是　　．

如图，在 $\mathit{Rt}△\mathit{AOB}$中， $\angle \mathit{AOB}＝90°$， $\mathit{OA}＝\mathit{OB}$，点C是 $\mathit{AB}$的中点，以OC为半径作 $\odot O$．

（1）求证： $\mathit{AB}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{OC}＝2$，求 $\mathit{OA}$的长．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle B=90°$，以顶点 $C$为圆心，适当长为半径画弧，分别交 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$于点 $E$， $F$，再分别以点 $E$， $F$为圆心，大于 $\frac{1}{2}\mathit{EF}$的长为半径画弧，两弧交于点 $P$，作射线 $\mathit{CP}$交 $\mathit{AB}$于点 $D$．若 $\mathit{BD}=3$， $\mathit{AC}=10$，则 $\mathit{\Delta ACD}$的面积是　　．

如图，平面直角坐标系中，已知点 $B$的坐标为 $(6,4)$．

（1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线 $\mathit{AC}$，它与 $x$轴和 $y$轴的正半轴分别交于点 $A$和点 $C$，且使 $\angle \mathit{ABC}=90°$， $\mathit{\Delta ABC}$与 $\mathit{\Delta AOC}$的面积相等．（作图不必写作法，但要保留作图痕迹． $)$

（2）问：（1）中这样的直线 $\mathit{AC}$是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出所有这样的直线 $\mathit{AC}$，并写出与之对应的函数表达式．

如图所示，已知在梯形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$ ， $\frac{S_{\mathit{\Delta ABD}}}{S_{\mathit{\Delta BCD}}}=\frac{1}{2}$ ，则 $\frac{S_{\mathit{\Delta BOC}}}{S_{\mathit{\Delta BCD}}}=$ 　　．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle \mathit{ABC}=90°$ ， $\mathit{AB}=2$ ， $\mathit{AC}=4$ ，点 $O$ 为 $\mathit{BC}$ 的中点，以 $O$ 为圆心，以 $\mathit{OB}$ 为半径作半圆，交 $\mathit{AC}$ 于点 $D$ ，则图中阴影部分的面积是 　　．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AD}\perp \mathit{BC}$ ，垂足为 $D$ ， $\mathit{BD}=\mathit{CD}$ ，延长 $\mathit{BC}$ 至 $E$ ，使得 $\mathit{CE}=\mathit{CA}$ ，连接 $\mathit{AE}$ ．

（1）求证： $\angle B=\angle \mathit{ACB}$ ；

（2）若 $\mathit{AB}=5$ ， $\mathit{AD}=4$ ，求 $\mathit{\Delta ABE}$ 的周长和面积．

如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为3的正方形中（纸片在结合部分不重叠无缝隙），则图2中阴影部分面积为　　．

我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为 $a$， $b$， $c$，则该三角形的面积为 $S=\sqrt{\frac{1}{4}[a^2{b}^2-{\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2}\right)}^2]}$．现已知 $\mathit{\Delta ABC}$的三边长分别为1，2， $\sqrt{5}$，则 $\mathit{\Delta ABC}$的面积为　　．