初中数学根与系数的关系解答题

已知关于x的一元二次方程 $x^2﹣2x+m﹣1＝0$有两个实数根x₁，x₂．

（1）求m的取值范围；

（2）当时，求m的值．

已知关于 x的一元二次方程 ax ²+ bx+ c＝0（ a≠0）有两个实数根 x ₁， x ₂，请用配方法探索有实数根的条件，并推导出求根公式，证明 x ₁• x ₂＝ $\frac{c}{a}$ ．

已知关于x的方程 $（x\text{-}3\mathit{）（}x\text{-}2\mathit{）﹣}{p}^2＝0$．

（1）求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；

（2）设方程两实数根分别为x₁，x₂，且满足 $x_1{}^2+x_2{}^2＝3x_1{x}_2$，求实数p的值．

关于x的方程（k﹣1）x²+2kx+2＝0．

（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．

（2）设x₁，x₂是方程（k﹣1）x²+2kx+2＝0的两个根，记 $S=\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}+x_1+x_2$，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由．

阅读理解：

材料一：若三个非零实数 $x$ ， $y$ ， $z$ 满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数 $x$ ， $y$ ， $z$ 构成"和谐三数组"．

材料二：若关于 $x$ 的一元二次方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c=0(a\ne 0)$ 的两根分别为 $x_1$ ， $x_2$ ，则有 $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ ， $x_1·x_2=\frac{c}{a}$ ．

问题解决：

（1）请你写出三个能构成"和谐三数组"的实数 　 　；

（2）若 $x_1$ ， $x_2$ 是关于 $x$ 的方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c=0(a$ ， $b$ ， $c$ 均不为 $0)$ 的两根， $x_3$ 是关于 $x$ 的方程 $\mathit{bx}+c=0(b$ ， $c$ 均不为 $0)$ 的解．求证： $x_1$ ， $x_2$ ， $x_3$ 可以构成"和谐三数组"；

（3）若 $A(m,y_1)$ ， $B(m+1,y_2)$ ， $C(m+3,y_3)$ 三个点均在反比例函数 $y=\frac{4}{x}$ 的图象上，且三点的纵坐标恰好构成"和谐三数组"，求实数 $m$ 的值．

阅读理解：

材料一：若三个非零实数 $x$ ， $y$ ， $z$ 满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数 $x$ ， $y$ ， $z$ 构成"和谐三数组"．

材料二：若关于 $x$ 的一元二次方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c=0(a\ne 0)$ 的两根分别为 $x_1$ ， $x_2$ ，则有 $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ ， $x_1·x_2=\frac{c}{a}$ ．

问题解决：

（1）请你写出三个能构成"和谐三数组"的实数 　 　；

（2）若 $x_1$ ， $x_2$ 是关于 $x$ 的方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c=0(a$ ， $b$ ， $c$ 均不为 $0)$ 的两根， $x_3$ 是关于 $x$ 的方程 $\mathit{bx}+c=0(b$ ， $c$ 均不为 $0)$ 的解．求证： $x_1$ ， $x_2$ ， $x_3$ 可以构成"和谐三数组"；

（3）若 $A(m,y_1)$ ， $B(m+1,y_2)$ ， $C(m+3,y_3)$ 三个点均在反比例函数 $y=\frac{4}{x}$ 的图象上，且三点的纵坐标恰好构成"和谐三数组"，求实数 $m$ 的值．

我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“点”．根据该约定，完成下列各题．

（1）在下列关于的函数中，是“函数”的，请在相应题目后面的括号中打“”，不是“函数”的打“”．

①　　；

②　　；

③　　．

（2）若点与点是关于的“函数” 的一对“点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，求，，的值或取值范围．

（3）若关于的“函数” ，，是常数）同时满足下列两个条件：①，②，求该“函数”截轴得到的线段长度的取值范围．

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-(2k+1)x+\frac{1}{2}{k}^2-2=0$ ．

（1）求证：无论 $k$ 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程的两个实数根 $x_1$ ， $x_2$ 满足 $x_1-x_2=3$ ，求 $k$ 的值．

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2+(2m+1)x+m-2=0$ ．

（1）求证：无论 $m$ 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程有两个实数根 $x_1$ ， $x_2$ ，且 $x_1+x_2+3x_1{x}_2=1$ ，求 $m$ 的值．

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-4x-2k+8=0$ 有两个实数根 $x_1$ ， $x_2$ ．

（1）求 $k$ 的取值范围；

（2）若 $x_1^3{x}_2+x_1{x}_2^3=24$ ，求 $k$ 的值．

已知：关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2+\sqrt{m}x-2=0$ 有两个实数根．

（1）求 $m$ 的取值范围；

（2）设方程的两根为 $x_1$ 、 $x_2$ ，且满足 ${(x_1-x_2)}^2-17=0$ ，求 $m$ 的值．

已知关于的方程有两实数根．

（1）求的取值范围；

（2）设方程两实数根分别为、，且，求实数的值．

已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．

（1）若为正整数，求的值；

（2）若，满足，求的值．

已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．

（1）求的取值范围；

（2）若，求的值及方程的根．

已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．

（1）求的取值范围；

（2）若，且为整数，求的值．