初中数学一元二次方程解答题

某村2016年的人均收入为20000元，2018年的人均收入为24200元

（1）求2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率；

（2）假设2019年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2019年该村的人均收入是多少元？

资料：公司营销区域面积是指公司营销活动范围内的地方面积，公共营销区域面积是指两家及以上公司营销活动重叠范围内的地方面积．

材料：某地有 $A$ ， $B$ 两家商贸公司（以下简称 $A$ ， $B$ 公司）．去年下半年 $A$ ， $B$ 公司营销区域面积分别为 $m$ 平方千米， $n$ 平方千米，其中 $m=3n$ ，公共营销区域面积与 $A$ 公司营销区域面积的比为 $\frac{2}{9}$ ；今年上半年，受政策鼓励，各公司决策调整， $A$ 公司营销区域面积比去年下半年增长了 $x\%$ ， $B$ 公司营销区域面积比去年下半年增长的百分数是 $A$ 公司的4倍，公共营销区域面积与 $A$ 公司营销区域面积的比为 $\frac{3}{7}$ ，同时公共营销区域面积与 $A$ ， $B$ 两公司总营销区域面积的比比去年下半年增加了 $x$ 个百分点．

问题：

（1）根据上述材料，针对去年下半年，提出一个你喜欢的数学问题（如求去年下半年公共营销区域面积与 $B$ 公司营销区域面积的比），并答案；

（2）若同一个公司去年下半年和今年上半年每平方千米产生的经济收益持平，且 $A$ 公司每半年每平方千米产生的经济收益均为 $B$ 公司的1.5倍，求去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比．

已知关于 $x$的一元二次方程 $x^2-2x+a=0$的两实数根 $x_1$， $x_2$满足 $x_1{x}_2+x_1+x_2>0$，求 $a$的取值范围．

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2+(2m+1)x+m-2=0$ ．

（1）求证：无论 $m$ 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程有两个实数根 $x_1$ ， $x_2$ ，且 $x_1+x_2+3x_1{x}_2=1$ ，求 $m$ 的值．

若三个非零实数 $x$， $y$， $z$满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数 $x$， $y$， $z$构成“和谐三组数”．

（1）实数1，2，3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由；

（2）若 $M(t,y_1)$， $N(t+1,y_2)$， $R(t+3,y_3)$三点均在函数 $y=\frac{k}{x}(k$为常数， $k\ne 0)$的图象上，且这三点的纵坐标 $y_1$， $y_2$， $y_3$构成“和谐三组数”，求实数 $t$的值；

（3）若直线 $y=2\mathit{bx}+2c(\mathit{bc}\ne 0)$与 $x$轴交于点 $A(x_1$， $0)$，与抛物线 $y=a{x}^2+3\mathit{bx}+3c(a\ne 0)$交于 $B(x_2$， $y_2)$， $C(x_3$， $y_3)$两点．

①求证： $A$， $B$， $C$三点的横坐标 $x_1$， $x_2$， $x_3$构成“和谐三组数”；

②若 $a>2b>3c$， $x_2=1$，求点 $P(\frac{c}{a}$， $\frac{b}{a})$与原点 $O$的距离 $\mathit{OP}$的取值范围．

阅读下列"问题"与"提示"后，将解方程的过程补充完整，求出 $x$ 的值．

【问题】解方程： $x^2+2x+4\sqrt{x^2+2x}-5=0$ ．

【提示】可以用"换元法"解方程．

解：设 $\sqrt{x^2+2x}=t(t⩾0)$ ，则有 $x^2+2x=t^2$

原方程可化为： $t^2+4t-5=0$

在2020年新冠肺炎疫情期间，某中学响应政府有“停课不停学”的号召，充分利用网络资源进行网上学习，九年级1班的全体同学在自主完成学习任务的同时，彼此关怀，全班每两个同学都通过一次电话，互相勉励，共同提高，如果该班共有48名同学，若每两名同学之间仅通过一次电话，那么全班同学共通过多少次电话呢？我们可以用下面的方式来解决问题．

用点A₁、A₂、A₃…A₄₈分表示第1名同学、第2名同学、第3名同学…第48名同学，把该班级人数x与通电话次数y之间的关系用如图模型表示：

（1）填写上图中第四个图中y的值为　　，第五个图中y的值为　　．

（2）通过探索发现，通电话次数y与该班级人数x之间的关系式为　 　，当 $x＝48$时，对应的y＝　   　．

（3）若九年级1班全体女生相互之间共通话190次，问：该班共有多少名女生？

已知关于的方程有两实数根．

（1）求的取值范围；

（2）设方程两实数根分别为、，且，求实数的值．

收发微信红包已成为各类人群进行交流联系、增强感情的一部分，下面是甜甜和她的双胞胎妹妹在六一儿童节期间的对话．

请问：（1）2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是多少？

（2）2017年六一甜甜和她妹妹各收到了多少钱的微信红包？

重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称"堂食"小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称"生食"小面）．已知3份"堂食"小面和2份"生食"小面的总售价为31元，4份"堂食"小面和1份"生食"小面的总售价为33元．

（1）求每份"堂食"小面和"生食"小面的价格分别是多少元？

（2）该面馆在4月共卖出"堂食"小面4500份，"生食"小面2500份．为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份"堂食"小面的价格保持不变，每份"生食"小面的价格降低 $\frac{3}{4}a\%$ ．统计5月的销量和销售额发现："堂食"小面的销量与4月相同，"生食"小面的销量在4月的基础上增加 $\frac{5}{2}a\%$ ，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加 $\frac{5}{11}a\%$ ．求 $a$ 的值．

小敏与小霞两位同学解方程 $3(x-3)={(x-3)}^2$的过程如下框：

小敏： 两边同除以 $(x-3)$，得 $3=x-3$， 则 $x=6$．

小霞： 移项，得 $3(x-3)-{(x-3)}^2=0$， 提取公因式，得 $(x-3)(3-x-3)=0$． 则 $x-3=0$或 $3-x-3=0$， 解得 $x_1=3$， $x_2=0$．

你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“ $\surd$”；若错误请在框内打“ $\times$”，并写出你的解答过程．

已知关于 $x$的一元二次方程 $x^2+x-m=0$．

（1）若方程有两个不相等的实数根，求 $m$的取值范围；

（2）二次函数 $y=x^2+x-m$的部分图象如图所示，求一元二次方程 $x^2+x-m=0$的解．

列方程（组 $)$解应用题

某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为 $600m^2$的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长 $35m$，另外三面用 $69m$长的篱笆围成，其中一边开有一扇 $1m$宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽．

巴中市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于有关部门关于房地产的新政策出台后，部分购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售，若两次下调的百分率相同，求平均每次下调的百分率．

为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本）．该阅览室在2014年图书借阅总量是7500本，2016年图书借阅总量是10800本．

（1）求该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率；

（2）已知2016年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2017年达到1440人．如果2016年至2017年图书借阅总量的增长率不低于2014年至2016年的年平均增长率，那么2017年的人均借阅量比2016年增长 $a\%$，求 $a$的值至少是多少？