初中数学一元二次方程解答题

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，以点 $B$为圆心， $\mathit{BC}$长为半径画弧，交线段 $\mathit{AB}$于点 $D$；以点 $A$为圆心， $\mathit{AD}$长为半径画弧，交线段 $\mathit{AC}$于点 $E$，连接 $\mathit{CD}$．

（1）若 $\angle A=28°$，求 $\angle \mathit{ACD}$的度数．

（2）设 $\mathit{BC}=a$， $\mathit{AC}=b$．

①线段 $\mathit{AD}$的长是方程 $x^2+2\mathit{ax}-b^2=0$的一个根吗？说明理由．

②若 $\mathit{AD}=\mathit{EC}$，求 $\frac{a}{b}$的值．

“杂交水稻之父” $--$袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．

（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；

（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．

在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3．

（1）设矩形的相邻两边长分别为 $x$， $y$．

①求 $y$关于 $x$的函数表达式；

②当 $y⩾3$时，求 $x$的取值范围；

（2）圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？

某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产 $A$ 产品，乙车间生产 $B$ 产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知 $A$ 产品的销售单价比 $B$ 产品的销售单价高100元，1件 $A$ 产品与1件 $B$ 产品售价和为500元．

（1） $A$ 、 $B$ 两种产品的销售单价分别是多少元？

（2）随着 $5G$ 时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制 $B$ 产品的生产车间．预计 $A$ 产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加 $a\%$ ； $B$ 产品产量将在去年的基础上减少 $a\%$ ，但 $B$ 产品的销售单价将提高 $3a\%$ ．则今年 $A$ 、 $B$ 两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加 $\frac{29}{25}a\%$ ．求 $a$ 的值．

已知关于 $x$的一元二次方程 $x^2-2x+a=0$的两实数根 $x_1$， $x_2$满足 $x_1{x}_2+x_1+x_2>0$，求 $a$的取值范围．

在2020年新冠肺炎疫情期间，某中学响应政府有“停课不停学”的号召，充分利用网络资源进行网上学习，九年级1班的全体同学在自主完成学习任务的同时，彼此关怀，全班每两个同学都通过一次电话，互相勉励，共同提高，如果该班共有48名同学，若每两名同学之间仅通过一次电话，那么全班同学共通过多少次电话呢？我们可以用下面的方式来解决问题．

用点A₁、A₂、A₃…A₄₈分表示第1名同学、第2名同学、第3名同学…第48名同学，把该班级人数x与通电话次数y之间的关系用如图模型表示：

（1）填写上图中第四个图中y的值为　　，第五个图中y的值为　　．

（2）通过探索发现，通电话次数y与该班级人数x之间的关系式为　 　，当 $x＝48$时，对应的y＝　   　．

（3）若九年级1班全体女生相互之间共通话190次，问：该班共有多少名女生？

已知关于 $x$的一元二次方程 $m{x}^2+(1-5m)x-5=0(m\ne 0)$．

（1）求证：无论 $m$为任何非零实数，此方程总有两个实数根；

（2）若抛物线 $y=m{x}^2+(1-5m)x-5$与 $x$轴交于 $A(x_1$， $0)$、 $B(x_2$， $0)$两点，且 $|x_1-x_2|=6$，求 $m$的值；

（3）若 $m>0$，点 $P(a,b)$与 $Q(a+n,b)$在（2）中的抛物线上（点 $P$、 $Q$不重合），求代数式 $4a^2-n^2+8n$的值．

已知关于 $x$的一元二次方程 $x^2-(2k+1)x+k^2+k=0$．

（1）求证：无论 $k$取何值，方程都有两个不相等的实数根．

（2）如果方程的两个实数根为 $x_1$， $x_2$，且 $k$与 $\frac{x_1}{x_2}$都为整数，求 $k$所有可能的值．

某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产每提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．

（1）若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；

（2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？

“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为优选品种，提高产量，某农业科技小组对 $A$， $B$两个小麦品种进行种植对比实验研究．去年 $A$， $B$两个品种各种植了10亩．收获后 $A$， $B$两个品种的售价均为2.4元 $/\mathit{kg}$，且 $B$的平均亩产量比 $A$的平均亩产量高 $100\mathit{kg}$， $A$， $B$两个品种全部售出后总收入为21600元．

（1）请求出 $A$， $B$两个品种去年平均亩产量分别是多少？

（2）今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在 $A$， $B$种植亩数不变的情况下，预计 $A$， $B$两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加 $a\%$和 $2a\%$．由于 $B$品种深受市场的欢迎，预计每千克价格将在去年的基础上上涨 $a\%$，而 $A$品种的售价不变． $A$， $B$两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加 $\frac{20}{9}a\%$．求 $a$的值．

重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称"堂食"小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称"生食"小面）．已知3份"堂食"小面和2份"生食"小面的总售价为31元，4份"堂食"小面和1份"生食"小面的总售价为33元．

（1）求每份"堂食"小面和"生食"小面的价格分别是多少元？

（2）该面馆在4月共卖出"堂食"小面4500份，"生食"小面2500份．为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份"堂食"小面的价格保持不变，每份"生食"小面的价格降低 $\frac{3}{4}a\%$ ．统计5月的销量和销售额发现："堂食"小面的销量与4月相同，"生食"小面的销量在4月的基础上增加 $\frac{5}{2}a\%$ ，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加 $\frac{5}{11}a\%$ ．求 $a$ 的值．

小敏与小霞两位同学解方程 $3(x-3)={(x-3)}^2$的过程如下框：

小敏： 两边同除以 $(x-3)$，得 $3=x-3$， 则 $x=6$．

小霞： 移项，得 $3(x-3)-{(x-3)}^2=0$， 提取公因式，得 $(x-3)(3-x-3)=0$． 则 $x-3=0$或 $3-x-3=0$， 解得 $x_1=3$， $x_2=0$．

你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“ $\surd$”；若错误请在框内打“ $\times$”，并写出你的解答过程．

已知关于 $x$的一元二次方程 $x^2+x-m=0$．

（1）若方程有两个不相等的实数根，求 $m$的取值范围；

（2）二次函数 $y=x^2+x-m$的部分图象如图所示，求一元二次方程 $x^2+x-m=0$的解．

列方程（组 $)$解应用题

某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为 $600m^2$的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长 $35m$，另外三面用 $69m$长的篱笆围成，其中一边开有一扇 $1m$宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽．

某商品的进价为每件40元，售价为每件60元时，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件．设每件商品的售价为 $x$元 $(x$为正整数），每个月的销售利润为 $y$元．

（1）当每件商品的售价是多少元时，每个月的利润刚好是2250元？

（2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？