初中数学规律型：图形的变化类试题

利用如图1的二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为 $a$， $b$， $c$， $d$，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为 $a\times 2^3+b\times 2^2+c\times 2^1+d\times 2^0$，如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为 $0\times 2^3+1\times 2^2+0\times 2^1+1\times 2^0=5$，表示该生为5班学生．表示6班学生的识别图案是 $($　　 $)$

A．B．

C．D．

如图，下列图案是由火柴棒按某种规律搭成的，第（1）个图案中有2个正方形，第（2）个图案中有5个正方形，第（3）个图案中有8个正方形 $\dots \dots$，则第（5）个图案中有　     　个正方形，第 $n$个图案中有　   　个正方形．

将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 $n$个图形有　 $(n^2+n+4)$　个小圆．（用含 $n$的代数式表示）

如图，四边形 $\mathit{OA}{A}_1{B}_1$是边长为1的正方形，以对角线 $O{A}_1$为边作第二个正方形 $O{A}_1{A}_2{B}_2$．连接 $A{A}_2$，得到△ $A{A}_1{A}_2$；再以对角线 $O{A}_2$为边作第三个正方形 $O{A}_2{A}_3{B}_3$，连接 $A_1{A}_3$，得到△ $A_1{A}_2{A}_3$；再以对角线 $O{A}_3$为边作第四个正方形，连接 $A_2{A}_4$，得到△ $A_2{A}_3{A}_4\dots \dots$记△ $A{A}_1{A}_2$、△ $A_1{A}_2{A}_3$、△ $A_2{A}_3{A}_4$的面积分别为 $S_1$、 $S_2$、 $S_3$，如此下去，则 $S_n=$　　．

小李用围棋子排成下列一组有规律的图案，其中第1个图案有1枚棋子，第2个图案有3枚棋子，第3个图案有4枚棋子，第4个图案有6枚棋子，…，那么第9个图案的棋子数是　　枚．

如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形 $\dots$按此规律摆下去，第 $n$个图案有　　个三角形（用含 $n$的代数式表示）．

如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第 n个图形中共有三角形的个数为 　　．

将一些圆按照如图方式摆放，从上向下有无数行，其中第一行有2个圆，第二行有4个圆，第三行有6个圆 $\dots$按此规律排列下去，则前50行共有圆　　个．

下列图形都是由完全相同的小梯形按一定规律组成的．如果第1个图形的周长为5，那么第2个图形的周长为　　，第2017个图形的周长为　　．

用m根火柴棒恰好可拼成如图1所示的a个等边三角形或如图2所示的b个正六边形，则 $\frac{b}{a}$＝　　．

如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：

①将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉；

②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为（　　）

A．

2 ^2019

B．

$\frac{1}{2^{2018}}$

C．

$\frac{1}{2^{2019}}$

D．

$\frac{1}{2^{2020}}$

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为2，其面积标记为 $S_1$，以 $\mathit{CD}$为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 $S_2$， $\dots$，按照此规律继续下去，则 $S_9$的值为 $($　　 $)$

A． ${\left(\frac{1}{2}\right)}^6$B． ${\left(\frac{1}{2}\right)}^7$C． ${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^6$D． ${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^7$

如图，用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：则第⑦个图案有　　个黑色棋子．

问题提出：用若干相同的一个单位长度的细直木棒，按照如图1方式搭建一个长方体框架，探究所用木棒条数的规律．

问题探究：

我们先从简单的问题开始探究，从中找出解决问题的方法．

探究一

用若干木棒来搭建横长是 $m$，纵长是 $n$的矩形框架 $(m$、 $n$是正整数），需要木棒的条数．

如图①，当 $m=1$， $n=1$时，横放木棒为 $1\times (1+1)$条，纵放木棒为 $(1+1)\times 1$条，共需4条；

如图②，当 $m=2$， $n=1$时，横放木棒为 $2\times (1+1)$条，纵放木棒为 $(2+1)\times 1$条，共需7条；

如图③，当 $m=2$， $n=2$时，横放木棒为 $2\times (2+1)$条，纵放木棒为 $(2+1)\times 2$条，共需12条；

如图④，当 $m=3$， $n=1$时，横放木棒为 $3\times (1+1)$条，纵放木棒为 $(3+1)\times 1$条，共需10条；

如图⑤，当 $m=3$， $n=2$时，横放木棒为 $3\times (2+1)$条，纵放木棒为 $(3+1)\times 2$条，共需17条．

问题（一 $)$：当 $m=4$， $n=2$时，共需木棒　　条．

问题（二 $)$：当矩形框架横长是 $m$，纵长是 $n$时，横放的木棒为　　条，

纵放的木棒为　　条．

探究二

用若干木棒来搭建横长是 $m$，纵长是 $n$，高是 $s$的长方体框架 $(m$、 $n$、 $s$是正整数），需要木棒的条数．

如图⑥，当 $m=3$， $n=2$， $s=1$时，横放与纵放木棒之和为 $[3\times (2+1)+(3+1)\times 2]\times (1+1)=34$条，竖放木棒为 $(3+1)\times (2+1)\times 1=12$条，共需46条；

如图⑦，当 $m=3$， $n=2$， $s=2$时，横放与纵放木棒之和为 $[3\times (2+1)+(3+1)\times 2]\times (2+1)=51$条，竖放木棒为 $(3+1)\times (2+1)\times 2=24$条，共需75条；

如图⑧，当 $m=3$， $n=2$， $s=3$时，横放与纵放木棒之和为 $[3\times (2+1)+(3+1)\times 2]\times (3+1)=68$条，竖放木棒为 $(3+1)\times (2+1)\times 3=36$条，共需104条．

问题（三 $)$：当长方体框架的横长是 $m$，纵长是 $n$，高是 $s$时，横放与纵放木棒条数之和为　　条，竖放木棒条数为　　条．

实际应用：现在按探究二的搭建方式搭建一个纵长是2、高是4的长方体框架，总共使用了170条木棒，则这个长方体框架的横长是　　．

拓展应用：若按照如图2方式搭建一个底面边长是10，高是5的正三棱柱框架，需要木棒　　条．

如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是 $($　　 $)$

A．B．C．D．