初中数学规律型：数字的变化类填空题

已知 $a_1=-\frac{3}{2}$， $a_2=\frac{5}{5}$， $a_3=-\frac{7}{10}$， $a_4=\frac{9}{17}$， $a_5=-\frac{11}{26}$， $\dots$，则 $a_8=$　　．

根据下列各式的规律，在横线处填空：

$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}-1=\frac{1}{2}$， $\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=\frac{1}{12}$， $\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-\frac{1}{3}=\frac{1}{30}$， $\frac{1}{7}+\frac{1}{8}-\frac{1}{4}=\frac{1}{56}\dots$， $\frac{1}{2017}+\frac{1}{2018}-$　　 $=\frac{1}{2017\times 2018}$

按一定规律排列的一列数依次为： $\frac{2}{3}$，1， $\frac{8}{7}$， $\frac{11}{9}$， $\frac{14}{11}$， $\frac{17}{13}$， $\dots$，按此规律，这列数中的第100个数是　　．

杨辉三角，又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察下面的杨辉三角：

按照前面的规律，则 ${(a+b)}^5=$　　．

观察下列运算过程：

计算： $1+2+2^2+\dots +2^{10}$．

解：设 $S=1+2+2^2+\dots +2^{10}$，①

① $\times 2$得

$2S=2+2^2+2^3+\dots +2^{11}$，② $?$

② $-$①得

$S=2^{11}-1$．

所以， $1+2+2^2+\dots +2^{10}=2^{11}-1$

运用上面的计算方法计算： $1+3+3^2+\dots +3^{2017}=$　　．

阅读材料并解决问题：

求 $1+2+2^2+2^3+\dots +2^{2014}$的值，令 $S=1+2+2^2+2^3+\dots +2^{2014}$

                  等式两边同时乘以2，则 $2S=2+2^2+2^3+\dots +2^{2014}+2^{2015}$

                  两式相减：得 $2S-S=2^{2015}-1$

                  所以， $S=2^{2015}-1$

依据以上计算方法，计算 $1+3+3^2+3^3+\dots +3^{2015}=$　　．

$a_1$， $a_2$， $a_3$， $a_4$， $a_5$， $a_6$， $\dots$，是一列数，已知第1个数 $a_1=4$，第5个数 $a_5=5$，且任意三个相邻的数之和为15，则第2019个数 $a_{2019}$的值是　　．

观察一列数： $-3$，0，3，6，9，12， $\dots$，按此规律，这一列数的第21个数是　　．

已知一列数 $a$， $b$， $a+b$， $a+2b$， $2a+3b$， $3a+5b$， $\dots \dots$，按照这个规律写下去，第9个数是　　．

设一列数中相邻的三个数依次为 $m$、 $n$、 $p$，且满足 $p=m^2-n$，若这列数为 $-1$，3， $-2$， $a$， $-7$， $b\dots$，则 $b=$　　．

求 $2^1+2^2+2^3+\dots +2^n$的值，解题过程如下：

解：设： $S=2^1+2^2+2^3+\dots +2^n$①

两边同乘以2得： $2S=2^2+2^3+2^4+\dots +2^{n+1}$②

由② $-$①得： $S=2^{n+1}-2$

所以 $2^1+2^2+2^3+\dots +2^n=2^{n+1}-2$

参照上面解法，计算： $1+3^1+3^2+3^3+\dots +3^{n-1}=$　　．

如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的， 称为杨辉三角形 ． 现用 $A_i$表示第三行开始， 从左往右， 从上往下， 依次出现的第 $i$个数， 例如： $A_1=1$， $A_2=2$， $A_3=1$， $A_4=1$， $A_5=3$， $A_6=3$， $A_7=1$，则 $A_{2016}=$　　．

古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为a₁，第二个三角数记为a₂…，第n个三角数记为a_n，计算 $a_1+a_2$， $a_2+a_3$， $a_3+a_4$，…由此推算 $a_{399}+a_{400}＝$　　．

观察下列等式：

第1个等式： $a_1=\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$，

第2个等式： $a_2=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，

第3个等式： $a_3=\frac{1}{\sqrt{3}+2}=2-\sqrt{3}$，

第4个等式： $a_4=\frac{1}{2+\sqrt{5}}=\sqrt{5}-2$，

按上述规律，回答以下问题：

（1）请写出第n个等式： $a_n＝$　；

（2） $a_1+a_2+a_3+\dots +a_n＝$　 ．

观察下列等式：

$1+2+3+4+\cdots +n=\frac{1}{2}n(n+1);$

$1+3+6+10+\cdots +\frac{1}{2}n(n+1)=\frac{1}{6}n(n+1)(n+2)$;

$1+4+10+20+\cdots +\frac{1}{6}n(n+1)(n+2)=\frac{1}{24}n(n+1)(n+2)(n+3)$;

则有： $1+5+15+35+\cdots \frac{1}{24}n(n+1)(n+2)(n+3)$＝　　．