初中数学规律型：数字的变化类试题

$a_1$， $a_2$， $a_3$， $a_4$， $a_5$， $a_6$， $\dots$，是一列数，已知第1个数 $a_1=4$，第5个数 $a_5=5$，且任意三个相邻的数之和为15，则第2019个数 $a_{2019}$的值是　　．

已知 $a>0$， $S_1=\frac{1}{a}$， $S_2=-S_1-1$， $S_3=\frac{1}{S_2}$， $S_4=-S_3-1$， $S_5=\frac{1}{S_4}$， $\dots$（即当 $n$为大于1的奇数时， $S_n=\frac{1}{S_{n-1}}$；当 $n$为大于1的偶数时， $S_n=-S_{n-1}-1)$，按此规律， $S_{2018}=$　　．

将一组数 $\sqrt{2}$，2， $\sqrt{6}$， $2\sqrt{2}$， $\sqrt{10}$， $\dots$， $2\sqrt{10}$，按下列方式进行排列：

$\sqrt{2}$，2， $\sqrt{6}$， $2\sqrt{2}$， $\sqrt{10}$；

$2\sqrt{3}$， $\sqrt{14}$，4， $3\sqrt{2}$， $2\sqrt{5}$；

$\dots$

若2的位置记为 $(1,2)$， $2\sqrt{3}$的位置记为 $(2,1)$，则 $\sqrt{38}$这个数的位置记为 $($　　 $)$

A． $(5,4)$B． $(4,4)$C． $(4,5)$D． $(3,5)$

观察下列各式： $\sqrt{1+\frac{1}{3}}=2\sqrt{\frac{1}{3}},\sqrt{2+\frac{1}{4}}=3\sqrt{\frac{1}{4}},\sqrt{3+\frac{1}{5}}=4\sqrt{\frac{1}{5}}\dots$请你将发现的规律用含自然数 $n(n⩾1)$的代数式表达出来　　．

已知一列数 $a$， $b$， $a+b$， $a+2b$， $2a+3b$， $3a+5b$， $\dots \dots$，按照这个规律写下去，第9个数是　　．

观察以下等式：

第1个等式： $\frac{1}{3}\times (1+\frac{2}{1})=2-\frac{1}{1}$，

第2个等式： $\frac{3}{4}\times (1+\frac{2}{2})=2-\frac{1}{2}$，

第3个等式： $\frac{5}{5}\times (1+\frac{2}{3})=2-\frac{1}{3}$，

第4个等式： $\frac{7}{6}\times (1+\frac{2}{4})=2-\frac{1}{4}$．

第5个等式： $\frac{9}{7}\times (1+\frac{2}{5})=2-\frac{1}{5}$．

$\dots$

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第6个等式：　 $\frac{11}{8}\times (1+\frac{2}{6})=2-\frac{1}{6}$　；

（2）写出你猜想的第 $n$个等式：　　（用含 $n$的等式表示），并证明．

设一列数中相邻的三个数依次为 $m$、 $n$、 $p$，且满足 $p=m^2-n$，若这列数为 $-1$，3， $-2$， $a$， $-7$， $b\dots$，则 $b=$　　．

按一定规律排列的一列数依次为： $-\frac{a^2}{2}$， $\frac{a^5}{5}$， $-\frac{a^8}{10}$， $\frac{a^{11}}{17}$， $\dots (a\ne 0)$，按此规律排列下去，这列数中的第 $n$个数是　　． $(n$为正整数）

观察下列等式：

第一个等式：

第二个等式：

第三个等式：

第四个等式：

按上述规律，回答下列问题：

（1）请写出第六个等式：　　　　；

（2）用含的代数式表示第个等式：　　　　；

（3）　　（得出最简结果）；

（4）计算：．

观察下列等式： $1=1^2-0^2$， $3=2^2-1^2$， $5=3^2-2^2$， $\dots$按此规律，则第 $n$个等式为 $2n-1=$　　．

生活中常用的十进制是用 $0~9$ 这十个数字来表示数，满十进一，例： $12=1\times 10+2$ ， $212=2\times 10\times 10+1\times 10+2$ ；计算机也常用十六进制来表示字符代码，它是用 $0~F$ 来表示 $0~15$ ，满十六进一，它与十进制对应的数如表：

十进制	0	1	2	$\dots$	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	$\dots$
十六进制	0	1	2	$\dots$	8	9	$A$	$B$	$C$	$D$	$E$	$F$	10	11	$\dots$

例：十六进制 $2B$ 对应十进制的数为 $2\times 16+11=43$ ， $10C$ 对应十进制的数为 $1\times 16\times 16+0\times 16+12=268$ ，那么十六进制中 $14E$ 对应十进制的数为 $($ 　　 $)$

A．

28

B．

62

C．

238

D．

334

已知 $a_1$ 为实数，规定运算： $a_2=1-\frac{1}{a_1}$ ， $a_3=1-\frac{1}{a_2}$ ， $a_4=1-\frac{1}{a_3}$ ， $a_5=1-\frac{1}{a_4}$ ， $\dots$ ， $a_n=1-\frac{1}{a_{n-1}}$ ．按上述方法计算：当 $a_1=3$ 时， $a_{2021}$ 的值等于 $($ 　　 $)$

A．

$-\frac{2}{3}$

B．

$\frac{1}{3}$

C．

$-\frac{1}{2}$

D．

$\frac{2}{3}$

观察下列各式的规律：

① $1\times 3-2^2=3-4=-1$；② $2\times 4-3^2=8-9=-1$；③ $3\times 5-4^2=15-16=-1$．

请按以上规律写出第4个算式　　．

用含有字母的式子表示第 $n$个算式为　　．

如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是 $($　　 $)$

A． $2\sqrt{10}$B． $\sqrt{41}$C． $5\sqrt{2}$D． $\sqrt{51}$

在一列数： $a_1$， $a_2$， $a_3$， $\dots$， $a_n$中， $a_1=3$， $a_2=7$，从第三个数开始，每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这一列数中的第2017个数是 $($　　 $)$

A．1B．3C．7D．9