高中数学试题

从区间 $[0,1]$ 随机抽取2 n个数 $x_1$ , $x_2$ ，…， $x_n$ ， $y_1$ ， $y_2$ ，…， $y_n$ ，构成 n个数对 $(x_1,y_1)$ ， $(x_2,y_2)$ ，…， $(x_n,y_n)$ ，其中两数的平方和小于1的数对共有 m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 $\pi$ 的近似值为( )

A．

$\frac{4n}{m}$

B．

$\frac{2n}{m}$

C．

$\frac{4m}{n}$

D．

$\frac{2m}{n}$

若 $\cos \left(\frac{\pi }{4}-\alpha \right)=\frac{3}{5}$ ，则 $\mathit{sin}2\alpha =$ ( )

A．

$\frac{7}{25}$

B．

$\frac{1}{5}$

C．

$-\frac{1}{5}$

D．

$-\frac{7}{25}$

中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的 $x=2$ ， $n=2$ ，依次输入的a为2，2，5，则输出的 $s=$ ( )

A．

7

B．

12

C．

17

D．

34

若将函数 $y=2\mathit{sin}2x$ 的图像向左平移 $\frac{\text{π}}{12}$ 个单位长度，则评议后图象的对称轴为( )

A．	$x=\frac{k\text{π}}{2}-\frac{\text{π}}{6}\mathrm{ }(k\in \mathrm{Z})$	B．	$\mathrm{ }x=\frac{k\text{π}}{2}+\frac{\text{π}}{6}(k\in \mathrm{Z})$
C．	$\mathrm{ }x=\frac{k\text{π}}{2}-\frac{\text{π}}{12}\text{（}\text{K}\text{∈}\text{Z}\text{）}$	D．	$x=\frac{k\text{π}}{2}+\frac{\text{π}}{12}\mathrm{ }(k\in \mathrm{Z})$

下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )

A．

$20\pi$

B．

$24\mathit{\pi }$

C．

$28\mathit{\pi }$

D．

$32\pi$

如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )

A．

24

B．

18

C．

12

D．

9

圆 $x^2+y^2-2x-8y+13=0$ 的圆心到直线 $\mathit{ax}+y-1=0$ 的距离为1，则 $a=$ ( )

A．

$-\frac{4}{3}$

B．

$-\frac{3}{4}$

C．

$\sqrt{3}$

D．

2

已知向量 $\vec{a}=(1,m)，\vec{b}=(3,-2)$ ，且 $\text{(}\vec{a}+\vec{b}\text{)}\perp \vec{b}$ ，则 $m=$ ( )

A．

－8

B．

－6

C．

6

D．

8

已知集合 $A=\left\{1，2，3\right\}$ ， $B=\left\{x\right|（x+1\mathit{）（}x﹣2\mathit{）＜}0$ ， $x\in Z\}$ ，则 $A\cup B=$ （　　）

A．

$\left\{1\right\}$

B．

$\left\{1，2\right\}\mathit{ }$

C．

$\left\{0，1，2，3\right\}\mathit{ }$

D．

$\left\{﹣1，0，1，2，3\right\}$

已知 $z=（m+3）+（m﹣1）i$ 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（　　）

A．

$\mathit{（﹣}3，1）$

B．

$\mathit{（﹣}1，3）$

C．

$（1，+\infty ）$

D．

$\mathit{（﹣}\infty \mathit{，﹣}3）$

设函数 $f\left(x\right)={（x-1）}^3-\mathit{ax}-b,x\in R$，其中 $a,b\in R$。

（1）求 $f\left(x\right)$的单调区间；

（2）若 $f\left(x\right)$存在极点 $x_0$， 且 $f\left(x_1\right)=f\left(x_0\right)$，其中 $x_1\ne x_0\mathit{ }$， 求证： $x_1+2_{x0}=3$；

（3）设 $a＞0$,函数 $g\left(x\right)=\mid f\left(x\right)\mid$,求证： $g\left(x\right)$在区间 $[0,2]$上的最大值不小于 $\frac{1}{4}$.

设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{3}1\mathrm{（}\mathrm{a}\mathrm{＞}\mathrm{}\sqrt{3}）$的右焦点为F，右顶点为A，已知 $\frac{1}{\left|\mathit{OF}\right|}+\frac{1}{\left|\mathit{OA}\right|}=\frac{3e}{\left|\mathit{FA}\right|}$ ，其中O为原点，e为椭圆的离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点A的直线l与椭圆交于B（B不在 $x$轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若 $\mathit{BF}\perp \mathit{HF}$，且 $\angle \mathit{MOA}=\angle \mathit{MAO}$，求直线 $l$的斜率．

已知 $\left\{a_n\right\}$是各项均为整数得等差数列，公差为d，对任意的 $n\in N^{*}$， $b_n$是 $a_n$和 $a_{n+1}$得等比中项。

（1）设 $c_n={b_{n+1}}^2-{b_n}^2$， $n\in N^{*}$，求证：数列 $\left\{c_n\right\}$是等差数列；

（2）设 $a_1=d$， $T_n=\underset{k=1}{\overset{2n}{\sum }}{(-1)}^k{b_k}^2$， $n\in N^{*}$，求证： $\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{1}{Ti}<\frac{1}{{2d}^2}$

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$ 的中心为 $\mathit{O }$，四边形 $\mathit{OBEF}$为矩形，平面 $\mathit{OBEF}\perp$平面 $\mathit{ABCD}$ ， 点 $G$为 $AB$的中点， $\mathit{AB}=\mathit{BE}=2.$

（1）求证： $\mathit{EG}\parallel$ 平面 $\mathit{ADF}$ ；

（2）求二面角 $O-\mathit{EF}-C$ 的正弦值；

（3）设 H为线段 $\mathit{AF}$ 上的点，且 $\mathit{AH}=\frac{2}{3}\mathit{HF}$ ，求直线 $\mathit{BH}$ 和平面 $\mathit{CEF}$ 所成角的正弦值.

某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,. 现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.

（1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；

（2）设 $X$ 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望.